Номер 9, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите косинус угла между плоскостями $SAB$ и $ABC$:

A) $\frac{\sqrt{15}}{15}$;

B) $\frac{\sqrt{17}}{17}$;

C) $\frac{\sqrt{19}}{19}$;

D) $\frac{\sqrt{21}}{21}$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$ см

Высота $h = 2$ см

В системе СИ:
$a = 0.01$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

$\cos(\alpha)$ - косинус угла между плоскостями SAB и ABC.

Решение:

Пусть SABCD - данная правильная четырехугольная пирамида. В ее основании лежит квадрат ABCD. Пусть O - центр основания (точка пересечения диагоналей). Тогда SO - высота пирамиды, и по условию $SO = h = 2$ см.

Угол между боковой гранью SAB и плоскостью основания ABC (плоскость ABCD) - это двугранный угол при ребре основания AB. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

Проведем апофему SM, где M - середина ребра AB. Поскольку пирамида правильная, боковая грань SAB является равнобедренным треугольником ($SA=SB$), и ее медиана SM является также и высотой. Следовательно, $SM \perp AB$.

В плоскости основания соединим центр квадрата O с точкой M. Так как O - центр квадрата, а M - середина стороны AB, то отрезок OM перпендикулярен стороне AB ($OM \perp AB$).

Поскольку $SM \perp AB$ и $OM \perp AB$, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями SAB и ABC. Нам нужно найти косинус этого угла.

Рассмотрим треугольник SOM. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды SO перпендикулярна всей плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и OM. Таким образом, $\angle SOM = 90^{\circ}$.

В этом прямоугольном треугольнике:

1. Катет SO равен высоте пирамиды: $SO = 2$ см.

2. Катет OM равен половине стороны квадрата, так как является расстоянием от центра квадрата до его стороны: $OM = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Найдем гипотенузу SM (апофему пирамиды), используя теорему Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$SM^2 = 2^2 + (0.5)^2 = 4 + 0.25 = 4.25$

$SM = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ см.

Теперь найдем косинус угла $\angle SMO$. В прямоугольном треугольнике SOM косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{17}$:

$\cos(\angle SMO) = \frac{1 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

Данный результат соответствует варианту ответа B).

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{17}$.