Номер 11.9, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 1 см (рис. 11.5). Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $ACD_1$.

Рис. 11.5

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 1 \text{ см}$

$a = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $B_1$ до плоскости $ACD_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Искомое расстояние $h$ является высотой тетраэдра $ACD_1B_1$, опущенной из вершины $B_1$ на основание $ACD_1$.

Объем тетраэдра вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Отсюда можно выразить высоту:

$h = \frac{3V}{S_{осн}}$

Решение разобьем на два этапа: найдем площадь основания $S_{ACD_1}$ и объем тетраэдра $V_{ACD_1B_1}$.

1. Нахождение площади основания $S_{ACD_1}$

Основанием является треугольник $ACD_1$. Его стороны $AC$, $AD_1$ и $CD_1$ являются диагоналями граней куба.

Длина диагонали грани куба с ребром $a=1$ находится по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ см}$

Следовательно, все стороны треугольника $ACD_1$ равны:

$AC = AD_1 = CD_1 = \sqrt{2} \text{ см}$

Таким образом, треугольник $ACD_1$ является равносторонним. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $s = \sqrt{2}$:

$S_{ACD_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

2. Нахождение объема тетраэдра $V_{ACD_1B_1}$

Объем тетраэдра можно найти, вычтя из объема всего куба объемы четырех "угловых" тетраэдров: $B_1ABC$, $A_1AD_1A$, $C_1CD_1C$ и $D_1DAB$. Нет, это сложный путь. Найдем объем через координаты.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$.

Координаты вершин тетраэдра будут:

$A(1, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$.

Объем тетраэдра, заданного координатами своих вершин, можно найти с помощью смешанного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $A$:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB_1} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD_1}|$

Найдем векторы:

$\vec{AB_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

$\vec{AC} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

$\vec{AD_1} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{AB_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = -1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, -1, 1)$

Теперь вычислим скалярное произведение (результат смешанного произведения):

$(\vec{AB_1} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD_1} = (-1, -1, 1) \cdot (-1, 0, 1) = (-1)(-1) + (-1)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2$

Объем тетраэдра равен:

$V = \frac{1}{6} |2| = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ см}^3$

3. Нахождение искомого расстояния $h$

Теперь, зная объем и площадь основания, найдем высоту:

$h = \frac{3V}{S_{ACD_1}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$h = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.