Номер 10.8, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.8. В правильной четырехугольной пи-рамиде $SABCD$ стороны основания и

высота равны 2 см (рис. 10.5). Найдите синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой: а) $BD$; б) $SC$.

Рис. 10.5

Дано:

$SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида
$AB = BC = CD = DA = 2$ см
$SO = h = 2$ см

$AB = 0.02$ м
$SO = 0.02$ м

Найти:

а) синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой $BD$.
б) синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой $SC$.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$. Высота пирамиды $SO$ проецируется в центр квадрата $O$ - точку пересечения его диагоналей.

а)

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Синус этого угла можно найти как отношение расстояния от любой точки на прямой до плоскости к длине отрезка от этой точки до точки пересечения прямой с плоскостью.

В нашем случае прямая $BD$ пересекает плоскость $SAB$ в точке $B$. Найдем синус угла $\alpha$ между прямой $BD$ и плоскостью $SAB$ по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{d(D, (SAB))}{BD}$

где $d(D, (SAB))$ - расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$, а $BD$ - длина диагонали основания.

1. Найдем длину диагонали $BD$. Так как $ABCD$ - квадрат со стороной 2 см, то по теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Найдем расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$ ($d(D, (SAB))$), используя метод объемов для тетраэдра $SABD$. Объем этого тетраэдра можно вычислить двумя способами:

$V_{SABD} = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot SO = \frac{1}{3} S_{SAB} \cdot d(D, (SAB))$

3. Вычислим площадь основания тетраэдра - треугольника $ABD$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AB=2$ и $AD=2$.

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ см$^2$.

4. Теперь найдем объем тетраэдра $SABD$:

$V_{SABD} = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4}{3}$ см$^3$.

5. Вычислим площадь боковой грани $SAB$. Треугольник $SAB$ - равнобедренный ($SA=SB$). Проведем апофему $SK$ (высоту грани $SAB$), где $K$ - середина $AB$. В основании $O$ - центр квадрата, $OK$ - средняя линия в $\triangle ABD$, параллельная $AD$, или просто $OK = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. По теореме Пифагора найдем апофему $SK$:

$SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $SAB$:

$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$ см$^2$.

6. Подставим известные значения в формулу для объема:

$\frac{4}{3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{5} \cdot d(D, (SAB))$

$d(D, (SAB)) = \frac{4}{\sqrt{5}}$ см.

7. Наконец, найдем синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{d(D, (SAB))}{BD} = \frac{4/\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{5}$

б)

Аналогично пункту а), синус угла $\gamma$ между прямой $SC$ и плоскостью $SAB$ можно найти по формуле:

$\sin(\gamma) = \frac{d(C, (SAB))}{SC}$

где $d(C, (SAB))$ - расстояние от точки $C$ до плоскости $SAB$, а $SC$ - длина бокового ребра.

1. Найдем длину бокового ребра $SC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. $OC$ - половина диагонали $AC$. $AC = BD = 2\sqrt{2}$ см, следовательно $OC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора:

$SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4+2} = \sqrt{6}$ см.

2. Найдем расстояние от точки $C$ до плоскости $SAB$ ($d(C, (SAB))$). В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $SAB$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $SAB$.

Расстояние от любой точки прямой до параллельной ей плоскости одинаково. Следовательно, расстояние от точки $C$ до плоскости $SAB$ равно расстоянию от точки $D$ до этой же плоскости.

$d(C, (SAB)) = d(D, (SAB))$

Из пункта а) мы знаем, что $d(D, (SAB)) = \frac{4}{\sqrt{5}}$ см. Значит, $d(C, (SAB)) = \frac{4}{\sqrt{5}}$ см.

3. Теперь найдем синус угла $\gamma$:

$\sin(\gamma) = \frac{d(C, (SAB))}{SC} = \frac{4/\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{5}\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{30}} = \frac{4\sqrt{30}}{30} = \frac{2\sqrt{30}}{15}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{30}}{15}$