Номер 10.7, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.7. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 1 см (рис. 10.4). Найдите синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью:

а) $ABC_1$;

б) $ACD_1$.

Рис. 10.4

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра $a = 1$ см.

Прямая $DB_1$.

Плоскости $ABC_1$ и $ACD_1$.

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м.

Найти:

а) синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

б) синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты (учитывая, что длина ребра $a=1$):

$A(0, 0, 0)$

$B(1, 0, 0)$

$D(0, 1, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

$B_1(1, 0, 1)$

$C_1(1, 1, 1)$

$D_1(0, 1, 1)$

$C(1, 1, 0)$

Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $DB_1$:

$\vec{s} = \vec{DB_1} = (x_{B_1} - x_D, y_{B_1} - y_D, z_{B_1} - z_D) = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1)$.

Длина вектора $\vec{s}$:

$|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Синус угла $\phi$ между прямой и плоскостью можно найти по формуле:

$\sin\phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

а) $ABC_1$

Найдем вектор нормали $\vec{n_a}$ к плоскости $ABC_1$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.

$\vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{AC_1} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n_a}$ является векторным произведением векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n_a} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 0\vec{i} - 1\vec{j} + 1\vec{k} = (0, -1, 1)$.

Длина вектора нормали $\vec{n_a}$:

$|\vec{n_a}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n_a}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n_a} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 + 1 + 1 = 2$.

Вычислим синус угла $\phi_a$ между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$:

$\sin\phi_a = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n_a}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n_a}|} = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

б) $ACD_1$

Найдем вектор нормали $\vec{n_b}$ к плоскости $ACD_1$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$.

$\vec{AC} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.

$\vec{AD_1} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n_b}$ является векторным произведением векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{n_b} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1\vec{i} - 1\vec{j} + 1\vec{k} = (1, -1, 1)$.

Длина вектора нормали $\vec{n_b}$:

$|\vec{n_b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Заметим, что направляющий вектор прямой $\vec{s} = (1, -1, 1)$ совпадает с вектором нормали $\vec{n_b} = (1, -1, 1)$. Это означает, что прямая $DB_1$ перпендикулярна плоскости $ACD_1$, и угол между ними равен $90^\circ$. Синус этого угла равен 1. Проверим это по формуле.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n_b}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n_b} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

Вычислим синус угла $\phi_b$ между прямой $DB_1$ и плоскостью $ACD_1$:

$\sin\phi_b = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n_b}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n_b}|} = \frac{|3|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{3} = 1$.

Ответ: $1$