Номер 8.11, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.11.В правильной четырехугольной пи-рамиде $SABCD$ все ребра равны 2 см, точка $E$ — середина ребра $SC$ (рис. 8.5). Найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Рис. 8.5

Дано:

$SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида.
Все ребра равны 2 см, т.е. $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 2$ см.
$E$ — середина ребра $SC$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BE$ воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть центр основания пирамиды (квадрата $ABCD$) — точка $O$ — совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$. Оси $Ox$ и $Oy$ направим параллельно сторонам квадрата $AB$ и $AD$ соответственно. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$.

Так как сторона основания равна 2, то диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Тогда половина диагонали $AO = OC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$.

Найдем высоту пирамиды $SO$ из прямоугольного треугольника $SOC$. По условию, боковое ребро $SC = 2$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OC^2 = SC^2$. $SO^2 + (\sqrt{2})^2 = 2^2$ $SO^2 + 2 = 4$ $SO^2 = 2 \Rightarrow SO = \sqrt{2}$.

Теперь определим координаты вершин пирамиды: Стороны квадрата $ABCD$ параллельны осям, центр в $(0,0,0)$, сторона равна 2. Следовательно, координаты вершин основания: $A(-1, -1, 0)$, $B(1, -1, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(-1, 1, 0)$. Координаты вершины пирамиды: $S(0, 0, \sqrt{2})$.

Точка $E$ является серединой ребра $SC$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $S$ и $C$: $S(0, 0, \sqrt{2})$, $C(1, 1, 0)$ $E\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{\sqrt{2}+0}{2}\right) = E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем координаты векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$: $\vec{SA} = A - S = (-1-0, -1-0, 0-\sqrt{2}) = (-1, -1, -\sqrt{2})$. $\vec{BE} = E - B = (\frac{1}{2}-1, \frac{1}{2}-(-1), \frac{\sqrt{2}}{2}-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$: $\vec{SA} \cdot \vec{BE} = (-1)\cdot(-\frac{1}{2}) + (-1)\cdot(\frac{3}{2}) + (-\sqrt{2})\cdot(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1-3-2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Найдем длины векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$: $|\vec{SA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$. $|\vec{BE}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos \alpha = \frac{-2}{2 \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол между прямыми по определению является острым углом (или прямым), поэтому его косинус не может быть отрицательным. Если косинус угла между направляющими векторами отрицателен, то угол между прямыми равен $\pi - \alpha$, и его косинус равен $|\cos \alpha|$. Следовательно, косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$ равен: $\cos(\widehat{SA, BE}) = |-\frac{\sqrt{3}}{3}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.