Номер 8.5, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.5. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 4$, $AD = 4$, $AA_1 = 3$, найдите косинус угла между прямыми $DB_1$ и $AC$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 4$

$AA_1 = 3$

Найти:

Косинус угла между прямыми $DB_1$ и $AC$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями, направленными вдоль ребер параллелепипеда:

Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$.

Ось $Oy$ направим вдоль ребра $AD$.

Ось $Oz$ направим вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат определим координаты вершин, которые задают наши прямые:

$A(0; 0; 0)$

$C(4; 4; 0)$ (поскольку основание $ABCD$ — квадрат со стороной 4)

$D(0; 4; 0)$

$B_1(4; 0; 3)$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $DB_1$.

Для прямой $AC$ направляющим вектором будет вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z\} = \{4 - 0; 4 - 0; 0 - 0\} = \{4; 4; 0\}$.

Для прямой $DB_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{DB_1} = \{B_{1x} - D_x; B_{1y} - D_y; B_{1z} - D_z\} = \{4 - 0; 0 - 4; 3 - 0\} = \{4; -4; 3\}$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (4)(4) + (4)(-4) + (0)(3) = 16 - 16 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые $AC$ и $DB_1$ перпендикулярны.

Угол между ними составляет $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен 0.

$\cos \alpha = \frac{|0|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DB_1}|} = 0$.

Ответ: 0