Номер 8.7, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.7. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого
$AB = 4, AD = 4, AA_1 = 3$, найдите косинус угла между прямыми
$AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 4$

$AA_1 = 3$

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ – вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ – вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты вершин, необходимых для определения векторов, лежащих на искомых прямых.

Координаты точки $A$ (начало координат): $A(0; 0; 0)$.

Координаты точки $B$ (лежит на оси $Ox$): $B(4; 0; 0)$.

Координаты точки $C$ (в плоскости $Oxy$): $C(4; 4; 0)$.

Координаты точки $B_1$ (сдвиг точки $B$ по оси $Oz$): $B_1(4; 0; 3)$.

Координаты точки $C_1$ (сдвиг точки $C$ по оси $Oz$): $C_1(4; 4; 3)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $BC_1$. В качестве них можно взять векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Координаты вектора $\vec{AB_1}$ равны разности координат конца ($B_1$) и начала ($A$):

$\vec{AB_1} = \{4-0; 0-0; 3-0\} = \{4; 0; 3\}$.

Координаты вектора $\vec{BC_1}$ равны разности координат конца ($C_1$) и начала ($B$):

$\vec{BC_1} = \{4-4; 4-0; 3-0\} = \{0; 4; 3\}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 0 + 0 + 9 = 9$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{9}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$.

Так как полученное значение положительно, оно и является косинусом угла между прямыми.

Ответ: $\frac{9}{25}$.