Номер 8.12, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.12. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см. Точка $G$ — середина ребра $SC$ (рис. 8.6). Найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BG$.

Рис. 8.6

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.

Стороны основания a = 2 см.

Высота пирамиды h = 4 см.

Точка G – середина ребра SC.

Найти:

Косинус угла между прямыми SA и BG.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SA и BG введем систему координат. Пусть центр основания пирамиды, правильного шестиугольника ABCDEF, совпадает с началом координат O(0, 0, 0). Высота пирамиды SO будет лежать на оси Oz. Тогда вершина пирамиды имеет координаты S(0, 0, h), то есть S(0, 0, 4).

Вершины основания лежат в плоскости Oxy. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника, то есть R = a = 2. Расположим вершины основания следующим образом для удобства вычислений. Пусть вершина C лежит на положительной части оси Ox. Тогда ее координаты C(2, 0, 0).

Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, центральный угол, опирающийся на сторону, равен $360^\circ/6 = 60^\circ$. Координаты остальных вершин можно найти, используя полярные координаты с радиусом R=2.

• Координаты точки B: угол BOC равен $60^\circ$. $B(2\cos(60^\circ), 2\sin(60^\circ), 0) = B(1, \sqrt{3}, 0)$.
• Координаты точки A: угол AOC равен $120^\circ$. $A(2\cos(120^\circ), 2\sin(120^\circ), 0) = A(-1, \sqrt{3}, 0)$.

Точка G является серединой ребра SC. Найдем ее координаты как полусумму координат точек S и C:

$S(0, 0, 4)$ и $C(2, 0, 0)$

$G = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (1, 0, 2)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым SA и BG.

Вектор $\vec{SA}$ имеет координаты, равные разности координат точек A и S:

$\vec{SA} = A - S = (-1 - 0, \sqrt{3} - 0, 0 - 4) = (-1, \sqrt{3}, -4)$.

Вектор $\vec{BG}$ имеет координаты, равные разности координат точек G и B:

$\vec{BG} = G - B = (1 - 1, 0 - \sqrt{3}, 2 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 2)$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BG}$:

$\vec{SA} \cdot \vec{BG} = (-1)(0) + (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (-4)(2) = 0 - 3 - 8 = -11$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{SA}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 3 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

$|\vec{BG}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 3 + 4} = \sqrt{7}$.

Теперь вычислим косинус угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{-11}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{-11}{2\sqrt{35}}$.

Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos(\alpha) = |\cos(\theta)| = \left|\frac{-11}{2\sqrt{35}}\right| = \frac{11}{2\sqrt{35}}$.

Ответ: $ \frac{11}{2\sqrt{35}} $.