Номер 8.10, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 2, точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$, точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$ (рис. 8.4).

Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.

Рис. 8.4

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 2$

Точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$

Точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$

Найти:

Косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты нужных нам точек. Поскольку длина ребра куба равна 2, имеем:

$A(0, 0, 0)$

$B(2, 0, 0)$

$A_1(0, 0, 2)$

$B_1(2, 0, 2)$

$C_1(2, 2, 2)$

Точка $E$ является серединой ребра $A_1B_1$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $A_1$ и $B_1$:

$E = (\frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{2+2}{2}) = (1; 0; 2)$

Точка $F$ является серединой ребра $B_1C_1$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $B_1$ и $C_1$:

$F = (\frac{2+2}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{2+2}{2}) = (2; 1; 2)$

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$, которые являются направляющими векторами для прямых $AE$ и $BF$ соответственно.

$\vec{AE} = (x_E - x_A; y_E - y_A; z_E - z_A) = (1 - 0; 0 - 0; 2 - 0) = (1; 0; 2)$

$\vec{BF} = (x_F - x_B; y_F - y_B; z_F - z_B) = (2 - 2; 1 - 0; 2 - 0) = (0; 1; 2)$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AE$ и $BF$ равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$ и вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{BF}|}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{BF}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AE} \cdot \vec{BF} = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (2 \cdot 2) = 0 + 0 + 4 = 4$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AE}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$

$|\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|4|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.