Страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $D(a; b; c)$ и параллельной оси:

а) $Ox$

б) $Oy$

в) $Oz$

Дано:

Прямая проходит через точку $D(a; b; c)$.

Найти:

Параметрические уравнения прямой, если она параллельна:

а) оси Ox

б) оси Oy

в) оси Oz

Решение:

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

$\begin{cases} x = x_0 + l \cdot t \\ y = y_0 + m \cdot t \\ z = z_0 + n \cdot t \end{cases}$

где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки на прямой, а $\vec{s} = (l, m, n)$ — направляющий вектор прямой, $t$ — параметр.

В нашем случае прямая проходит через точку $D(a; b; c)$, поэтому $x_0 = a$, $y_0 = b$, $z_0 = c$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ совпадает по направлению с вектором оси, которой она параллельна.

а) Ox

Если прямая параллельна оси Ox, то ее направляющий вектор $\vec{s}$ коллинеарен направляющему вектору оси Ox, которым является базисный вектор $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

Примем $\vec{s} = (1; 0; 0)$. Тогда $l=1$, $m=0$, $n=0$.

Подставив значения в общую формулу, получим параметрические уравнения:

$\begin{cases} x = a + 1 \cdot t \\ y = b + 0 \cdot t \\ z = c + 0 \cdot t \end{cases}$

Упростив, получаем:

Ответ: $\begin{cases} x = a + t \\ y = b \\ z = c \end{cases}$

б) Oy

Если прямая параллельна оси Oy, то ее направляющий вектор $\vec{s}$ коллинеарен направляющему вектору оси Oy, которым является базисный вектор $\vec{j} = (0; 1; 0)$.

Примем $\vec{s} = (0; 1; 0)$. Тогда $l=0$, $m=1$, $n=0$.

Подставив значения в общую формулу, получим параметрические уравнения:

$\begin{cases} x = a + 0 \cdot t \\ y = b + 1 \cdot t \\ z = c + 0 \cdot t \end{cases}$

Упростив, получаем:

Ответ: $\begin{cases} x = a \\ y = b + t \\ z = c \end{cases}$

в) Oz

Если прямая параллельна оси Oz, то ее направляющий вектор $\vec{s}$ коллинеарен направляющему вектору оси Oz, которым является базисный вектор $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Примем $\vec{s} = (0; 0; 1)$. Тогда $l=0$, $m=0$, $n=1$.

Подставив значения в общую формулу, получим параметрические уравнения:

$\begin{cases} x = a + 0 \cdot t \\ y = b + 0 \cdot t \\ z = c + 1 \cdot t \end{cases}$

Упростив, получаем:

Ответ: $\begin{cases} x = a \\ y = b \\ z = c + t \end{cases}$

В каком случае две прямые, заданные параметрическими уравнениями будут $ \begin{cases} x = x_1 + k_1t, & x = x_2 + k_2t \\ y = y_1 + l_1t, & y = y_2 + l_2t \\ z = z_1 + m_1t, & z = z_2 + m_2t \end{cases} $, параллельны?

Параметрические уравнения прямой в пространстве определяются точкой, через которую проходит прямая, и направляющим вектором, который задает ее направление. Для первой прямой, заданной системой уравнений $ \begin{cases} x = x_1 + k_1t \\ y = y_1 + l_1t \\ z = z_1 + m_1t \end{cases} $, точкой на прямой является $ M_1(x_1, y_1, z_1) $, а направляющим вектором — $ \vec{s_1} = \{k_1; l_1; m_1\} $.

Аналогично, для второй прямой $ \begin{cases} x = x_2 + k_2t \\ y = y_2 + l_2t \\ z = z_2 + m_2t \end{cases} $ точкой является $ M_2(x_2, y_2, z_2) $, а направляющим вектором — $ \vec{s_2} = \{k_2; l_2; m_2\} $.

Две прямые в пространстве являются параллельными тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны (то есть параллельны). Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат. Это означает, что для векторов $ \vec{s_1} $ и $ \vec{s_2} $ должно выполняться следующее соотношение:

$ \frac{k_1}{k_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} $

Это равенство является условием параллельности двух прямых. Следует учесть, что если какая-либо из координат второго вектора (знаменатель) равна нулю, то для выполнения условия коллинеарности соответствующая координата первого вектора (числитель) также должна быть равна нулю. Например, если $ l_2 = 0 $, то и $ l_1 $ должен быть равен 0.

Ответ: Две прямые, заданные параметрическими уравнениями, будут параллельны, если координаты их направляющих векторов $ \{k_1; l_1; m_1\} $ и $ \{k_2; l_2; m_2\} $ пропорциональны, то есть выполняется условие $ \frac{k_1}{k_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} $.