Страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.8. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиду, центрально-симметричную пирамиде $SABCD$ относительно точки $O$, изображенной на рисунке 7.20.

Рис. 7.20

Дано:

Пирамида SABCD и точка O, заданные на листе в клетку. Для решения введем декартову систему координат. Пусть начало координат (0, 0) находится в левом нижнем углу сетки, а сторона одной клетки равна 1. Тогда координаты вершин пирамиды и центра симметрии будут следующими:

• Вершина A: (1, 1)
• Вершина B: (5, 1)
• Вершина C: (6, 3)
• Вершина D: (2, 3)
• Вершина S: (3, 5)
• Центр симметрии O: (4, 2)

Найти:

Изобразить пирамиду, центрально-симметричную пирамиде SABCD относительно точки O.

Решение:

Центральная симметрия относительно точки O преобразует каждую точку P фигуры в точку P' так, что точка O является серединой отрезка PP'. Если точка P имеет координаты $(x, y)$, а центр симметрии O имеет координаты $(x_0, y_0)$, то координаты симметричной точки P'$(x', y')$ вычисляются по формулам:

$x' = 2x_0 - x$

$y' = 2y_0 - y$

Найдем координаты вершин новой пирамиды S'A'B'C'D', применив эти формулы для каждой вершины исходной пирамиды.

1. Для вершины A(1, 1):

$x_{A'} = 2 \cdot 4 - 1 = 7$

$y_{A'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Координаты точки A': (7, 3).

2. Для вершины B(5, 1):

$x_{B'} = 2 \cdot 4 - 5 = 3$

$y_{B'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Координаты точки B': (3, 3).

3. Для вершины C(6, 3):

$x_{C'} = 2 \cdot 4 - 6 = 2$

$y_{C'} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$

Координаты точки C': (2, 1).

4. Для вершины D(2, 3):

$x_{D'} = 2 \cdot 4 - 2 = 6$

$y_{D'} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$

Координаты точки D': (6, 1).

5. Для вершины S(3, 5):

$x_{S'} = 2 \cdot 4 - 3 = 5$

$y_{S'} = 2 \cdot 2 - 5 = -1$

Координаты точки S': (5, -1).

Теперь мы имеем координаты всех вершин симметричной пирамиды S'A'B'C'D'. Для ее построения необходимо отметить на сетке точки A'(7, 3), B'(3, 3), C'(2, 1), D'(6, 1), S'(5, -1) и соединить их соответствующим образом.

При центральной симметрии видимые ребра исходной фигуры переходят в невидимые, а невидимые — в видимые (при сохранении точки обзора). В исходной пирамиде SABCD видимыми являются ребра SA, SB, SC, AB и BC (сплошные линии). Невидимыми являются ребра SD, AD и DC (пунктирные линии).

Следовательно, в симметричной пирамиде S'A'B'C'D':

• Ребра S'A', S'B', S'C', A'B' и B'C' будут невидимыми (изображаются пунктиром).
• Ребра S'D', A'D' и D'C' будут видимыми (изображаются сплошной линией).

Ответ:

Для построения пирамиды, центрально-симметричной данной, необходимо на листе в клетку отметить новые вершины, координаты которых в введенной системе координат равны: $A'(7, 3)$, $B'(3, 3)$, $C'(2, 1)$, $D'(6, 1)$, и вершина пирамиды $S'(5, -1)$. Затем следует соединить эти точки. Ребра $S'D'$, $A'D'$ и $D'C'$ изображаются сплошными линиями как видимые. Ребра $S'A'$, $S'B'$, $S'C'$, $A'B'$ и $B'C'$ изображаются пунктирными линиями как невидимые.

7.9. Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых.

Центр симметрии фигуры — это такая точка, относительно которой фигура симметрична, то есть при центральной симметрии с центром в этой точке фигура переходит сама в себя. Другими словами, для любой точки $A$ фигуры, симметричная ей точка $A'$ относительно центра симметрии $O$ (где $O$ является серединой отрезка $AA'$) также принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим фигуру, состоящую из двух параллельных прямых $l_1$ и $l_2$. Введем декартову систему координат так, чтобы ось абсцисс $Ox$ была параллельна этим прямым и равноудалена от них. Тогда уравнения прямых можно записать в виде $l_1: y=d$ и $l_2: y=-d$, где $2d$ — расстояние между прямыми ($d>0$).

Пусть точка $C(x_c, y_c)$ является искомым центром симметрии. Проверим, каким условиям должны удовлетворять ее координаты.

1. Возьмем произвольную точку $A(x_A, d)$, принадлежащую прямой $l_1$. Точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $C$, имеет координаты, которые находятся из условия, что $C$ — середина отрезка $AA'$: $x_c = \frac{x_A + x_{A'}}{2}$ и $y_c = \frac{d + y_{A'}}{2}$. Отсюда координаты точки $A'$: $x_{A'} = 2x_c - x_A$ и $y_{A'} = 2y_c - d$.

По определению центра симметрии, точка $A'(x_{A'}, y_{A'})$ должна принадлежать фигуре, то есть либо прямой $l_1$, либо прямой $l_2$. Это означает, что ее ордината $y_{A'}$ должна быть равна либо $d$, либо $-d$.
Рассмотрим два возможных случая для $y_{A'}$:
а) $y_{A'} = d \Rightarrow 2y_c - d = d \Rightarrow 2y_c = 2d \Rightarrow y_c = d$. В этом случае центр симметрии $C$ лежит на прямой $l_1$.
б) $y_{A'} = -d \Rightarrow 2y_c - d = -d \Rightarrow 2y_c = 0 \Rightarrow y_c = 0$. В этом случае центр симметрии $C$ лежит на прямой, равноудаленной от $l_1$ и $l_2$ (в нашей системе координат это ось $Ox$).

2. Теперь возьмем произвольную точку $B(x_B, -d)$, принадлежащую прямой $l_2$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно центра $C$, имеет координаты $x_{B'} = 2x_c - x_B$ и $y_{B'} = 2y_c - (-d) = 2y_c + d$.

Ордината $y_{B'}$ также должна быть равна либо $d$, либо $-d$.
Рассмотрим два возможных случая для $y_{B'}$:
а) $y_{B'} = d \Rightarrow 2y_c + d = d \Rightarrow 2y_c = 0 \Rightarrow y_c = 0$.
б) $y_{B'} = -d \Rightarrow 2y_c + d = -d \Rightarrow 2y_c = -2d \Rightarrow y_c = -d$. В этом случае центр симметрии $C$ лежит на прямой $l_2$.

Условие симметрии должно выполняться для любой точки фигуры. Следовательно, ордината центра симметрии $y_c$ должна удовлетворять условиям, полученным как в первом, так и во втором пункте.
Из пункта 1 следует, что $y_c$ может быть равно $d$ или $0$.
Из пункта 2 следует, что $y_c$ может быть равно $0$ или $-d$.
Единственное значение, которое удовлетворяет обоим наборам условий, это $y_c = 0$.

При этом никаких ограничений на абсциссу $x_c$ в ходе рассуждений не возникло. Это означает, что любая точка $C(x_c, 0)$ является центром симметрии. Множество всех таких точек образует прямую с уравнением $y=0$. В нашей системе координат это ось $Ox$.

Геометрически, эта прямая является прямой, параллельной данным прямым $l_1$ и $l_2$ и проходящей ровно посередине между ними.

Ответ: Центрами симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых, являются все точки прямой, которая параллельна данным прямым и находится на одинаковом расстоянии от каждой из них (иначе говоря, срединная линия для данных параллельных прямых).

7.10. Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из:

а) двух пересекающихся плоскостей;

б) двух параллельных плоскостей.

а)

Фигура состоит из двух пересекающихся плоскостей, назовем их $\alpha$ и $\beta$. Эти плоскости пересекаются по прямой линии, которую мы обозначим как $l$.

Центр симметрии фигуры — это точка $C$, относительно которой вся фигура симметрична. Это означает, что для любой точки $P$ фигуры, точка $P'$, симметричная $P$ относительно $C$, также должна принадлежать этой фигуре.

Рассмотрим любую точку $C$, принадлежащую прямой пересечения $l$. Так как $l$ является общей линией для обеих плоскостей, точка $C$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$.

1. Возьмем произвольную точку $P$ на плоскости $\alpha$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $C$, находится на прямой $PC$ на том же расстоянии от $C$, что и $P$, но с другой стороны. Поскольку обе точки, $P$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$, вся прямая $PC$ также лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $P'$ тоже принадлежит плоскости $\alpha$, а значит, и всей рассматриваемой фигуре.

2. Аналогично, возьмем произвольную точку $Q$ на плоскости $\beta$. Точка $Q'$, симметричная точке $Q$ относительно $C$, будет лежать на прямой $QC$. Поскольку обе точки, $Q$ и $C$, лежат в плоскости $\beta$, вся прямая $QC$ также лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, точка $Q'$ тоже принадлежит плоскости $\beta$, а значит, и всей фигуре.

Поскольку эти рассуждения верны для любой точки $C$ на прямой $l$, то каждая точка этой прямой является центром симметрии. Таким образом, множество всех центров симметрии — это сама прямая пересечения.

Ответ: Прямая пересечения данных плоскостей.

б)

Фигура состоит из двух параллельных плоскостей, назовем их $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим плоскость $\gamma$, которая параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$ и находится на одинаковом расстоянии от каждой из них (срединная плоскость).

Выберем любую точку $C$ на этой срединной плоскости $\gamma$.

1. Возьмем произвольную точку $P$ на плоскости $\alpha$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $C$, лежит на прямой $PC$ так, что $C$ — середина отрезка $PP'$. Расстояние от точки $P$ до плоскости $\gamma$ равно расстоянию от точки $P'$ до плоскости $\gamma$. Так как $P$ и $P'$ находятся по разные стороны от плоскости $\gamma$, а плоскость $\gamma$ равноудалена от $\alpha$ и $\beta$, то если $P$ лежит в плоскости $\alpha$, то $P'$ обязательно будет лежать в плоскости $\beta$. Таким образом, точка $P'$ принадлежит фигуре.

2. Аналогично, если мы возьмем произвольную точку $Q$ на плоскости $\beta$, то симметричная ей относительно точки $C$ точка $Q'$ будет лежать в плоскости $\alpha$ и, следовательно, также принадлежать фигуре.

Это справедливо для любой точки $C$ на срединной плоскости $\gamma$. Следовательно, любая точка этой плоскости является центром симметрии для фигуры, состоящей из двух параллельных плоскостей.

Ответ: Плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая посередине между ними.

7.11. Имеет ли центр симметрии наклонный параллелепипед (рис. 7.21)?

Рис. 7.21

Да, наклонный параллелепипед имеет центр симметрии.

Решение

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры, точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Другими словами, точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Рассмотрим наклонный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображенный на рисунке. Докажем, что точка пересечения его диагоналей является его центром симметрии. Диагоналями параллелепипеда называются отрезки, соединяющие противолежащие вершины: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем начало координат в вершине $A$ и введем три некомпланарных вектора, соответствующие ребрам, выходящим из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Тогда радиус-векторы всех вершин параллелепипеда можно выразить следующим образом:

$\vec{r_A} = \vec{0}$

$\vec{r_B} = \vec{a}$

$\vec{r_D} = \vec{b}$

$\vec{r_{A_1}} = \vec{c}$

$\vec{r_C} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{r_{B_1}} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{r_{D_1}} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{b} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{r_{C_1}} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Найдем радиус-вектор середины $O$ диагонали $AC_1$:

$\vec{r_O} = \frac{1}{2}(\vec{r_A} + \vec{r_{C_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Теперь найдем радиус-вектор середины диагонали $BD_1$:

$\frac{1}{2}(\vec{r_B} + \vec{r_{D_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Как видим, середины диагоналей $AC_1$ и $BD_1$ совпадают. Аналогично можно показать, что и остальные диагонали ($CA_1$ и $DB_1$) проходят через эту же точку $O$ и делятся ею пополам. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке $O$, которая является их общей серединой.

Теперь докажем, что эта точка $O$ является центром симметрии для всего параллелепипеда. Возьмем произвольную точку $M$, принадлежащую параллелепипеду. Ее радиус-вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

$\vec{r_M} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$, где коэффициенты удовлетворяют условиям $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Найдем радиус-вектор точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно точки $O$. Из определения середины отрезка $\vec{r_O} = \frac{\vec{r_M} + \vec{r_{M'}}}{2}$ следует, что $\vec{r_{M'}} = 2\vec{r_O} - \vec{r_M}$.

Подставим известные выражения для $\vec{r_O}$ и $\vec{r_M}$:

$\vec{r_{M'}} = 2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c})$

$\vec{r_{M'}} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - x\vec{a} - y\vec{b} - z\vec{c}$

$\vec{r_{M'}} = (1-x)\vec{a} + (1-y)\vec{b} + (1-z)\vec{c}$

Поскольку $0 \le x \le 1$, то и $0 \le 1-x \le 1$. Аналогично, $0 \le 1-y \le 1$ и $0 \le 1-z \le 1$.

Это означает, что координаты точки $M'$ в том же базисе удовлетворяют тем же ограничениям, следовательно, точка $M'$ также принадлежит параллелепипеду. Так как точка $M$ была выбрана произвольно, это доказывает, что точка $O$ является центром симметрии параллелепипеда.

Данное доказательство справедливо для любого параллелепипеда, в том числе и для наклонного, так как оно основано только на векторном определении параллелепипеда и не зависит от углов между его ребрами.

Ответ: Да, наклонный параллелепипед имеет центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его диагоналей.

рис. 7.21

7.12. Имеет ли центр симметрии:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 7.22)?

Рис. 7.22

Решение

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка O, что для любой точки M, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка M' относительно центра O также принадлежит этой фигуре. Все три многогранника, представленные на рисунке (октаэдр, икосаэдр и додекаэдр), являются правильными многогранниками (Платоновыми телами) и обладают центральной симметрией.

а) октаэдр

Правильный октаэдр имеет центр симметрии. Этот центр является его геометрическим центром — точкой пересечения диагоналей, соединяющих противоположные вершины. Для любой точки на поверхности или внутри октаэдра точка, симметричная ей относительно этого центра, также будет принадлежать октаэдру. Каждая из 6 вершин имеет противоположную вершину, каждое из 12 ребер — противоположное ребро, и каждая из 8 граней — противоположную и параллельную ей грань.

Ответ: да, имеет.

б) икосаэдр

Правильный икосаэдр имеет центр симметрии. Он расположен в его геометрическом центре. Для каждой из 12 вершин, 30 ребер и 20 граней икосаэдра существует симметричный элемент относительно этого центра. Например, для любой вершины можно найти диаметрально противоположную ей вершину.

Ответ: да, имеет.

в) додекаэдр

Правильный додекаэдр также имеет центр симметрии, совпадающий с его геометрическим центром. Преобразование центральной симметрии относительно этой точки отображает додекаэдр на себя. Каждая из 12 граней (пятиугольников) имеет противоположную и параллельную ей грань. Аналогично, каждая из 20 вершин и 30 ребер имеет свой симметричный аналог.

Ответ: да, имеет.

7.13. Сколько осей симметрии имеет правильная:

а) треугольная призма (рис. 7.16);

б) шестиугольная призма (рис. 7.17)?

Рис. 7.16

Рис. 7.17

а) правильная треугольная призма (рис. 7.16)

Решение:
Осью симметрии (или осью вращения) многогранника называется такая прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360°$, многогранник совмещается сам с собой. У правильной треугольной призмы, у которой основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники, можно выделить следующие оси симметрии:
1. Одна ось симметрии 3-го порядка. Это прямая, проходящая через центры (центроиды) двух оснований-треугольников. При повороте призмы вокруг этой оси на угол $120°$ или $240°$ она совмещается сама с собой.
2. Три оси симметрии 2-го порядка. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Каждая из этих трёх осей проходит через середину одного из боковых ребер и середину противоположной ему боковой грани (прямоугольника). При повороте на $180°$ вокруг любой из этих осей призма совмещается сама с собой.
Таким образом, общее количество осей симметрии у правильной треугольной призмы равно $1 + 3 = 4$.

Ответ: 4 оси симметрии.

б) правильная шестиугольная призма (рис. 7.17)

Решение:
У правильной шестиугольной призмы, основаниями которой являются правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники, существуют следующие оси симметрии:
1. Одна ось симметрии 6-го порядка. Это прямая, проходящая через центры оснований — правильных шестиугольников. Поворот вокруг этой оси на угол, кратный $60°$ ($360°/6$), совмещает призму саму с собой.
2. Шесть осей симметрии 2-го порядка. Все эти оси лежат в плоскости, параллельной основаниям и делящей высоту призмы пополам. Их можно разделить на два типа, аналогично осям симметрии правильного шестиугольника:
- Три оси, каждая из которых соединяет центры (середины) противоположных боковых граней.
- Ещё три оси, каждая из которых соединяет середины противоположных боковых ребер.
Поворот на $180°$ вокруг любой из этих шести осей совмещает призму саму с собой.
Следовательно, суммарное количество осей симметрии у правильной шестиугольной призмы составляет $1 + 3 + 3 = 7$.

Ответ: 7 осей симметрии.

7.14. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная:

a) треугольная призма (рис. 7.16);

б) шестиугольная призма (рис. 7.17)?

Рис. 7.16

Рис. 7.17

а) треугольная призма (рис. 7.16)

Решение
Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части (зеркальные отражения друг друга). У правильной треугольной призмы, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник, существуют следующие плоскости симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость проходит через середины боковых рёбер, параллельно основаниям призмы.
2. Три вертикальные плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей перпендикулярна основаниям призмы и проходит через одну из осей симметрии равностороннего треугольника, лежащего в основании. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (каждая из них является одновременно высотой, медианой и биссектрисой). Каждая такая плоскость содержит высоту одного основания и соответствующую высоту другого.
Таким образом, общее количество плоскостей симметрии равно $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4 плоскости симметрии.

б) шестиугольная призма (рис. 7.17)

Решение
У правильной шестиугольной призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник, также существуют два типа плоскостей симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Аналогично треугольной призме, она проходит через середины боковых рёбер, параллельно основаниям.
2. Шесть вертикальных плоскостей симметрии. Их количество равно количеству осей симметрии правильного шестиугольника, лежащего в основании. Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии. Соответственно, призма имеет шесть вертикальных плоскостей симметрии:
- Три плоскости, каждая из которых проходит через пару противоположных боковых рёбер призмы. Эти плоскости соответствуют осям симметрии основания, которые проходят через противоположные вершины шестиугольника.
- Три плоскости, каждая из которых проходит через середины противоположных боковых граней призмы. Эти плоскости соответствуют осям симметрии основания, которые проходят через середины противоположных сторон шестиугольника.
Таким образом, общее количество плоскостей симметрии равно $1 + 6 = 7$.
Ответ: 7 плоскостей симметрии.

7.15. Сколько осей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 7.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 7.19)?

Рис. 7.18

Рис. 7.19

Решение

Осью симметрии (или осью вращения) геометрической фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Для правильной n-угольной пирамиды такая ось может быть только одна.

а) у правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, а ее вершина проецируется в центр этого квадрата. Единственной осью симметрии такой пирамиды является прямая, проходящая через ее вершину и центр основания (квадрата).

При повороте пирамиды вокруг этой оси на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ она будет совмещаться сама с собой. Это происходит потому, что основание (квадрат) при таких поворотах совмещается само с собой, а вершина, лежащая на оси вращения, остается неподвижной.

Других осей симметрии у правильной четырехугольной пирамиды нет. Например, если попытаться повернуть пирамиду вокруг одной из осей симметрии, лежащих в плоскости основания (диагонали или линии, соединяющей середины противоположных сторон), то вершина пирамиды переместится, и фигура не совместится сама с собой.

Ответ: 1 ось симметрии.

б) у правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, а ее вершина проецируется в центр этого шестиугольника. По аналогии с четырехугольной пирамидой, единственной осью симметрии является прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания.

Правильный шестиугольник имеет ось вращения 6-го порядка. Это значит, что при повороте вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, на углы, кратные $60^\circ$ ($60^\circ, 120^\circ, 180^\circ$ и т.д.), он совмещается сам с собой.

При повороте всей пирамиды вокруг этой оси на указанные углы, ее основание и боковая поверхность будут совмещаться сами с собой, а вершина останется на месте. Следовательно, эта прямая является осью симметрии. Других осей симметрии по тем же причинам, что и в пункте а), у пирамиды нет.

Ответ: 1 ось симметрии.

7.16. Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 7.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 7.19)?

а)

Решение

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части. У правильной пирамиды все плоскости симметрии проходят через ее вершину и содержат оси симметрии ее основания.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Квадрат имеет четыре оси симметрии:

1. Две оси, проходящие через противолежащие вершины (диагонали).
2. Две оси, проходящие через середины противолежащих сторон.

Каждая из этих осей симметрии вместе с вершиной пирамиды образует плоскость симметрии. Таким образом, существуют два типа плоскостей симметрии:

• Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали основания. Каждая такая плоскость содержит два боковых ребра и делит пирамиду на две равные части.
• Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и прямые, соединяющие середины противолежащих сторон основания. Каждая такая плоскость содержит апофемы (высоты боковых граней) двух противолежащих граней и делит пирамиду на две равные части.

Следовательно, общее число плоскостей симметрии у правильной четырехугольной пирамиды равно $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

б)

Решение

Как и в предыдущем случае, плоскости симметрии правильной шестиугольной пирамиды должны проходить через ее вершину и содержать оси симметрии ее основания.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии:

1. Три оси, проходящие через противолежащие вершины (главные диагонали).
2. Три оси, проходящие через середины противолежащих сторон.

Каждая из этих шести осей симметрии вместе с вершиной пирамиды образует плоскость симметрии. Таким образом, существуют два типа плоскостей симметрии:

• Три плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали, соединяющие противолежащие вершины основания.
• Три плоскости, проходящие через вершину пирамиды и прямые, соединяющие середины противолежащих сторон основания.

Следовательно, общее число плоскостей симметрии у правильной шестиугольной пирамиды равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

7.17. Сколько осей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) n-угольной призмы

Оси симметрии правильной n-угольной призмы можно разделить на две группы. Правильная n-угольная призма — это прямая призма, в основаниях которой лежат два равных правильных n-угольника.

1. Вертикальная ось симметрии. Это прямая, проходящая через центры верхнего и нижнего оснований призмы. Она перпендикулярна плоскостям оснований. Вращение вокруг этой оси на угол $\frac{360^\circ}{n}$ (а также на углы, кратные этому) совмещает призму саму с собой. Такая ось одна.

2. Горизонтальные оси симметрии. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Все эти оси являются осями симметрии второго порядка (т.е. поворот на $180^\circ$ вокруг них совмещает фигуру с собой). Их количество и расположение совпадает с количеством осей симметрии правильного n-угольника, который является сечением призмы этой срединной плоскостью.

Количество осей симметрии у правильного n-угольника всегда равно $n$:

• Если $n$ — нечетное число, то у n-угольника $n$ осей симметрии, каждая из которых проходит через вершину и середину противоположной стороны.
• Если $n$ — четное число, то у n-угольника также $n$ осей симметрии: $\frac{n}{2}$ из них проходят через противоположные вершины, а остальные $\frac{n}{2}$ — через середины противоположных сторон.

Таким образом, у правильной n-угольной призмы есть $n$ горизонтальных осей симметрии.

Общее число осей симметрии равно сумме осей из обеих групп: $1 + n$.

Ответ: $n+1$.

б) n-угольной пирамиды

У правильной n-угольной пирамиды в основании лежит правильный n-угольник, а ее вершина проецируется в центр этого основания.

У такой пирамиды есть только одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания. Вращение вокруг этой оси на угол $\frac{360^\circ}{n}$ (и кратные ему углы) совмещает пирамиду саму с собой. Это ось симметрии порядка $n$.

В общем случае других осей симметрии у правильной n-угольной пирамиды нет. Это связано с тем, что вершина пирамиды является уникальной точкой фигуры (за исключением особых случаев, как правильный тетраэдр, где все грани равны). Любое преобразование симметрии должно переводить эту вершину в саму себя. Следовательно, любая ось симметрии должна проходить через вершину пирамиды. Единственная прямая, проходящая через вершину, вращение вокруг которой может совместить пирамиду с собой, — это уже названная ось, соединяющая вершину и центр основания. Вращение вокруг любой другой оси, проходящей через вершину, не совместит основание само с собой.

Таким образом, у правильной n-угольной пирамиды всего одна ось симметрии.

Ответ: 1.