Номер 7.9, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.9. Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых.

Центр симметрии фигуры — это такая точка, относительно которой фигура симметрична, то есть при центральной симметрии с центром в этой точке фигура переходит сама в себя. Другими словами, для любой точки $A$ фигуры, симметричная ей точка $A'$ относительно центра симметрии $O$ (где $O$ является серединой отрезка $AA'$) также принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим фигуру, состоящую из двух параллельных прямых $l_1$ и $l_2$. Введем декартову систему координат так, чтобы ось абсцисс $Ox$ была параллельна этим прямым и равноудалена от них. Тогда уравнения прямых можно записать в виде $l_1: y=d$ и $l_2: y=-d$, где $2d$ — расстояние между прямыми ($d>0$).

Пусть точка $C(x_c, y_c)$ является искомым центром симметрии. Проверим, каким условиям должны удовлетворять ее координаты.

1. Возьмем произвольную точку $A(x_A, d)$, принадлежащую прямой $l_1$. Точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $C$, имеет координаты, которые находятся из условия, что $C$ — середина отрезка $AA'$: $x_c = \frac{x_A + x_{A'}}{2}$ и $y_c = \frac{d + y_{A'}}{2}$. Отсюда координаты точки $A'$: $x_{A'} = 2x_c - x_A$ и $y_{A'} = 2y_c - d$.

По определению центра симметрии, точка $A'(x_{A'}, y_{A'})$ должна принадлежать фигуре, то есть либо прямой $l_1$, либо прямой $l_2$. Это означает, что ее ордината $y_{A'}$ должна быть равна либо $d$, либо $-d$.
Рассмотрим два возможных случая для $y_{A'}$:
а) $y_{A'} = d \Rightarrow 2y_c - d = d \Rightarrow 2y_c = 2d \Rightarrow y_c = d$. В этом случае центр симметрии $C$ лежит на прямой $l_1$.
б) $y_{A'} = -d \Rightarrow 2y_c - d = -d \Rightarrow 2y_c = 0 \Rightarrow y_c = 0$. В этом случае центр симметрии $C$ лежит на прямой, равноудаленной от $l_1$ и $l_2$ (в нашей системе координат это ось $Ox$).

2. Теперь возьмем произвольную точку $B(x_B, -d)$, принадлежащую прямой $l_2$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно центра $C$, имеет координаты $x_{B'} = 2x_c - x_B$ и $y_{B'} = 2y_c - (-d) = 2y_c + d$.

Ордината $y_{B'}$ также должна быть равна либо $d$, либо $-d$.
Рассмотрим два возможных случая для $y_{B'}$:
а) $y_{B'} = d \Rightarrow 2y_c + d = d \Rightarrow 2y_c = 0 \Rightarrow y_c = 0$.
б) $y_{B'} = -d \Rightarrow 2y_c + d = -d \Rightarrow 2y_c = -2d \Rightarrow y_c = -d$. В этом случае центр симметрии $C$ лежит на прямой $l_2$.

Условие симметрии должно выполняться для любой точки фигуры. Следовательно, ордината центра симметрии $y_c$ должна удовлетворять условиям, полученным как в первом, так и во втором пункте.
Из пункта 1 следует, что $y_c$ может быть равно $d$ или $0$.
Из пункта 2 следует, что $y_c$ может быть равно $0$ или $-d$.
Единственное значение, которое удовлетворяет обоим наборам условий, это $y_c = 0$.

При этом никаких ограничений на абсциссу $x_c$ в ходе рассуждений не возникло. Это означает, что любая точка $C(x_c, 0)$ является центром симметрии. Множество всех таких точек образует прямую с уравнением $y=0$. В нашей системе координат это ось $Ox$.

Геометрически, эта прямая является прямой, параллельной данным прямым $l_1$ и $l_2$ и проходящей ровно посередине между ними.

Ответ: Центрами симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых, являются все точки прямой, которая параллельна данным прямым и находится на одинаковом расстоянии от каждой из них (иначе говоря, срединная линия для данных параллельных прямых).