Номер 7.11, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.11. Имеет ли центр симметрии наклонный параллелепипед (рис. 7.21)?

Рис. 7.21

Да, наклонный параллелепипед имеет центр симметрии.

Решение

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры, точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Другими словами, точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Рассмотрим наклонный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображенный на рисунке. Докажем, что точка пересечения его диагоналей является его центром симметрии. Диагоналями параллелепипеда называются отрезки, соединяющие противолежащие вершины: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем начало координат в вершине $A$ и введем три некомпланарных вектора, соответствующие ребрам, выходящим из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Тогда радиус-векторы всех вершин параллелепипеда можно выразить следующим образом:

$\vec{r_A} = \vec{0}$

$\vec{r_B} = \vec{a}$

$\vec{r_D} = \vec{b}$

$\vec{r_{A_1}} = \vec{c}$

$\vec{r_C} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{r_{B_1}} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{r_{D_1}} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{b} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{r_{C_1}} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Найдем радиус-вектор середины $O$ диагонали $AC_1$:

$\vec{r_O} = \frac{1}{2}(\vec{r_A} + \vec{r_{C_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Теперь найдем радиус-вектор середины диагонали $BD_1$:

$\frac{1}{2}(\vec{r_B} + \vec{r_{D_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Как видим, середины диагоналей $AC_1$ и $BD_1$ совпадают. Аналогично можно показать, что и остальные диагонали ($CA_1$ и $DB_1$) проходят через эту же точку $O$ и делятся ею пополам. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке $O$, которая является их общей серединой.

Теперь докажем, что эта точка $O$ является центром симметрии для всего параллелепипеда. Возьмем произвольную точку $M$, принадлежащую параллелепипеду. Ее радиус-вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

$\vec{r_M} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$, где коэффициенты удовлетворяют условиям $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Найдем радиус-вектор точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно точки $O$. Из определения середины отрезка $\vec{r_O} = \frac{\vec{r_M} + \vec{r_{M'}}}{2}$ следует, что $\vec{r_{M'}} = 2\vec{r_O} - \vec{r_M}$.

Подставим известные выражения для $\vec{r_O}$ и $\vec{r_M}$:

$\vec{r_{M'}} = 2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c})$

$\vec{r_{M'}} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - x\vec{a} - y\vec{b} - z\vec{c}$

$\vec{r_{M'}} = (1-x)\vec{a} + (1-y)\vec{b} + (1-z)\vec{c}$

Поскольку $0 \le x \le 1$, то и $0 \le 1-x \le 1$. Аналогично, $0 \le 1-y \le 1$ и $0 \le 1-z \le 1$.

Это означает, что координаты точки $M'$ в том же базисе удовлетворяют тем же ограничениям, следовательно, точка $M'$ также принадлежит параллелепипеду. Так как точка $M$ была выбрана произвольно, это доказывает, что точка $O$ является центром симметрии параллелепипеда.

Данное доказательство справедливо для любого параллелепипеда, в том числе и для наклонного, так как оно основано только на векторном определении параллелепипеда и не зависит от углов между его ребрами.

Ответ: Да, наклонный параллелепипед имеет центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его диагоналей.