Номер 7.10, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.10. Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из:

а) двух пересекающихся плоскостей;

б) двух параллельных плоскостей.

а)

Фигура состоит из двух пересекающихся плоскостей, назовем их $\alpha$ и $\beta$. Эти плоскости пересекаются по прямой линии, которую мы обозначим как $l$.

Центр симметрии фигуры — это точка $C$, относительно которой вся фигура симметрична. Это означает, что для любой точки $P$ фигуры, точка $P'$, симметричная $P$ относительно $C$, также должна принадлежать этой фигуре.

Рассмотрим любую точку $C$, принадлежащую прямой пересечения $l$. Так как $l$ является общей линией для обеих плоскостей, точка $C$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$.

1. Возьмем произвольную точку $P$ на плоскости $\alpha$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $C$, находится на прямой $PC$ на том же расстоянии от $C$, что и $P$, но с другой стороны. Поскольку обе точки, $P$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$, вся прямая $PC$ также лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $P'$ тоже принадлежит плоскости $\alpha$, а значит, и всей рассматриваемой фигуре.

2. Аналогично, возьмем произвольную точку $Q$ на плоскости $\beta$. Точка $Q'$, симметричная точке $Q$ относительно $C$, будет лежать на прямой $QC$. Поскольку обе точки, $Q$ и $C$, лежат в плоскости $\beta$, вся прямая $QC$ также лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, точка $Q'$ тоже принадлежит плоскости $\beta$, а значит, и всей фигуре.

Поскольку эти рассуждения верны для любой точки $C$ на прямой $l$, то каждая точка этой прямой является центром симметрии. Таким образом, множество всех центров симметрии — это сама прямая пересечения.

Ответ: Прямая пересечения данных плоскостей.

б)

Фигура состоит из двух параллельных плоскостей, назовем их $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим плоскость $\gamma$, которая параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$ и находится на одинаковом расстоянии от каждой из них (срединная плоскость).

Выберем любую точку $C$ на этой срединной плоскости $\gamma$.

1. Возьмем произвольную точку $P$ на плоскости $\alpha$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $C$, лежит на прямой $PC$ так, что $C$ — середина отрезка $PP'$. Расстояние от точки $P$ до плоскости $\gamma$ равно расстоянию от точки $P'$ до плоскости $\gamma$. Так как $P$ и $P'$ находятся по разные стороны от плоскости $\gamma$, а плоскость $\gamma$ равноудалена от $\alpha$ и $\beta$, то если $P$ лежит в плоскости $\alpha$, то $P'$ обязательно будет лежать в плоскости $\beta$. Таким образом, точка $P'$ принадлежит фигуре.

2. Аналогично, если мы возьмем произвольную точку $Q$ на плоскости $\beta$, то симметричная ей относительно точки $C$ точка $Q'$ будет лежать в плоскости $\alpha$ и, следовательно, также принадлежать фигуре.

Это справедливо для любой точки $C$ на срединной плоскости $\gamma$. Следовательно, любая точка этой плоскости является центром симметрии для фигуры, состоящей из двух параллельных плоскостей.

Ответ: Плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая посередине между ними.