Номер 7.13, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.13. Сколько осей симметрии имеет правильная:

а) треугольная призма (рис. 7.16);

б) шестиугольная призма (рис. 7.17)?

Рис. 7.16

Рис. 7.17

а) правильная треугольная призма (рис. 7.16)

Решение:
Осью симметрии (или осью вращения) многогранника называется такая прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360°$, многогранник совмещается сам с собой. У правильной треугольной призмы, у которой основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники, можно выделить следующие оси симметрии:
1. Одна ось симметрии 3-го порядка. Это прямая, проходящая через центры (центроиды) двух оснований-треугольников. При повороте призмы вокруг этой оси на угол $120°$ или $240°$ она совмещается сама с собой.
2. Три оси симметрии 2-го порядка. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Каждая из этих трёх осей проходит через середину одного из боковых ребер и середину противоположной ему боковой грани (прямоугольника). При повороте на $180°$ вокруг любой из этих осей призма совмещается сама с собой.
Таким образом, общее количество осей симметрии у правильной треугольной призмы равно $1 + 3 = 4$.

Ответ: 4 оси симметрии.

б) правильная шестиугольная призма (рис. 7.17)

Решение:
У правильной шестиугольной призмы, основаниями которой являются правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники, существуют следующие оси симметрии:
1. Одна ось симметрии 6-го порядка. Это прямая, проходящая через центры оснований — правильных шестиугольников. Поворот вокруг этой оси на угол, кратный $60°$ ($360°/6$), совмещает призму саму с собой.
2. Шесть осей симметрии 2-го порядка. Все эти оси лежат в плоскости, параллельной основаниям и делящей высоту призмы пополам. Их можно разделить на два типа, аналогично осям симметрии правильного шестиугольника:
- Три оси, каждая из которых соединяет центры (середины) противоположных боковых граней.
- Ещё три оси, каждая из которых соединяет середины противоположных боковых ребер.
Поворот на $180°$ вокруг любой из этих шести осей совмещает призму саму с собой.
Следовательно, суммарное количество осей симметрии у правильной шестиугольной призмы составляет $1 + 3 + 3 = 7$.

Ответ: 7 осей симметрии.