Номер 7.17, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.17. Сколько осей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) n-угольной призмы

Оси симметрии правильной n-угольной призмы можно разделить на две группы. Правильная n-угольная призма — это прямая призма, в основаниях которой лежат два равных правильных n-угольника.

1. Вертикальная ось симметрии. Это прямая, проходящая через центры верхнего и нижнего оснований призмы. Она перпендикулярна плоскостям оснований. Вращение вокруг этой оси на угол $\frac{360^\circ}{n}$ (а также на углы, кратные этому) совмещает призму саму с собой. Такая ось одна.

2. Горизонтальные оси симметрии. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Все эти оси являются осями симметрии второго порядка (т.е. поворот на $180^\circ$ вокруг них совмещает фигуру с собой). Их количество и расположение совпадает с количеством осей симметрии правильного n-угольника, который является сечением призмы этой срединной плоскостью.

Количество осей симметрии у правильного n-угольника всегда равно $n$:

• Если $n$ — нечетное число, то у n-угольника $n$ осей симметрии, каждая из которых проходит через вершину и середину противоположной стороны.
• Если $n$ — четное число, то у n-угольника также $n$ осей симметрии: $\frac{n}{2}$ из них проходят через противоположные вершины, а остальные $\frac{n}{2}$ — через середины противоположных сторон.

Таким образом, у правильной n-угольной призмы есть $n$ горизонтальных осей симметрии.

Общее число осей симметрии равно сумме осей из обеих групп: $1 + n$.

Ответ: $n+1$.

б) n-угольной пирамиды

У правильной n-угольной пирамиды в основании лежит правильный n-угольник, а ее вершина проецируется в центр этого основания.

У такой пирамиды есть только одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания. Вращение вокруг этой оси на угол $\frac{360^\circ}{n}$ (и кратные ему углы) совмещает пирамиду саму с собой. Это ось симметрии порядка $n$.

В общем случае других осей симметрии у правильной n-угольной пирамиды нет. Это связано с тем, что вершина пирамиды является уникальной точкой фигуры (за исключением особых случаев, как правильный тетраэдр, где все грани равны). Любое преобразование симметрии должно переводить эту вершину в саму себя. Следовательно, любая ось симметрии должна проходить через вершину пирамиды. Единственная прямая, проходящая через вершину, вращение вокруг которой может совместить пирамиду с собой, — это уже названная ось, соединяющая вершину и центр основания. Вращение вокруг любой другой оси, проходящей через вершину, не совместит основание само с собой.

Таким образом, у правильной n-угольной пирамиды всего одна ось симметрии.

Ответ: 1.