Номер 7.20, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.20. Сколько плоскостей симметрии имеет:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 7.22)?

а) Правильный октаэдр — это платоново тело, состоящее из 8 граней (равносторонних треугольников), 12 рёбер и 6 вершин. Плоскости симметрии октаэдра проходят через его центр и делятся на два типа:

1. Плоскости, проходящие через четыре вершины. Эти четыре вершины образуют квадрат, который является "экваториальным" сечением октаэдра. Поскольку любую из 3 пар противоположных вершин можно выбрать в качестве "полюсов", существует 3 таких взаимно перпендикулярных "экваториальных" квадрата. Таким образом, имеется 3 плоскости симметрии этого типа.

2. Плоскости, проходящие через пару противоположных вершин и середины двух противоположных рёбер. Для каждой из 3 пар противоположных вершин (образующих ось) существуют две такие плоскости, которые делят пополам "экваториальный" квадрат, перпендикулярный этой оси. Это даёт $3 \times 2 = 6$ плоскостей симметрии.

Общее число плоскостей симметрии октаэдра равно сумме плоскостей обоих типов: $3 + 6 = 9$.

Ответ: $9$.

б) Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 20 граней (равносторонних треугольников), 30 рёбер и 12 вершин. Все плоскости симметрии икосаэдра проходят через его центр.

Наиболее простой способ подсчета плоскостей симметрии — рассмотреть его рёбра. У икосаэдра 30 рёбер, которые образуют 15 пар противоположных друг другу рёбер. Через каждую такую пару противоположных рёбер проходит плоскость симметрии. Эта плоскость содержит два ребра и центр икосаэдра. Сечение икосаэдра такой плоскостью представляет собой прямоугольник.

Поскольку существует 15 пар противоположных рёбер, икосаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Также стоит отметить, что икосаэдр и додекаэдр являются двойственными (дуальными) многогранниками, поэтому они имеют одинаковую группу симметрии и, следовательно, одинаковое количество плоскостей симметрии.

Ответ: $15$.

в) Додекаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 12 граней (правильных пятиугольников), 30 рёбер и 20 вершин.

Как и в случае с икосаэдром, плоскости симметрии додекаэдра проходят через его центр и определяются парами противоположных рёбер. У додекаэдра 30 рёбер, образующих 15 пар. Каждая плоскость симметрии проходит через такую пару противоположных рёбер, рассекая додекаэдр на две зеркально-симметричные половины. В сечении додекаэдра такая плоскость образует шестиугольник.

Так как существует 15 пар противоположных рёбер, додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

Ответ: $15$.