Номер 7.26, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.26. Изобразите призму, симметричную правильной треугольной призме относительно прямой, проходящей через центры $O$ и $O_1$ оснований этой призмы (рис. 7.24). Какая фигура является общей частью исходной призмы и симметричной?

Рис. 7.24

Решение

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями призмы являются правильные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Точки $O$ и $O_1$ — центры этих треугольников (центры описанных и вписанных окружностей, точки пересечения медиан, биссектрис и высот). Прямая $OO_1$ является осью призмы.

Симметрия относительно прямой $OO_1$ представляет собой поворот в пространстве на угол $180^\circ$ вокруг этой прямой. Чтобы построить призму, симметричную данной, нужно повернуть исходную призму на $180^\circ$ вокруг оси $OO_1$.

При таком повороте каждая точка призмы переходит в симметричную ей точку.

1. Рассмотрим нижнее основание — треугольник $ABC$. Его центр $O$ лежит на оси вращения, поэтому точка $O$ останется на месте. Вершины $A, B, C$ перейдут в новые точки $A', B', C'$ соответственно. Точка $A'$ будет такой, что $O$ является серединой отрезка $AA'$. Аналогично, $O$ — середина отрезков $BB'$ и $CC'$. Получившийся треугольник $A'B'C'$ будет конгруэнтен исходному треугольнику $ABC$, но будет повернут относительно него на $180^\circ$.

2. Аналогично, верхнее основание $A_1B_1C_1$ при повороте вокруг оси $OO_1$ на $180^\circ$ перейдет в конгруэнтный ему треугольник $A'_1B'_1C'_1$, центр которого $O_1$ также останется на месте.

3. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ исходной призмы параллельны оси вращения $OO_1$. При повороте они перейдут в ребра $A'A'_1$, $B'B'_1$, $C'C'_1$, которые также будут параллельны оси $OO_1$.

Таким образом, симметричная призма $A'B'C'A'_1B'_1C'_1$ также является правильной треугольной призмой, конгруэнтной исходной.

Теперь найдем общую часть (пересечение) исходной и симметричной призм. Общая часть двух этих призм будет представлять собой тело, ограниченное снизу и сверху пересечением их оснований, а сбоку — частями их боковых граней. Высота этого тела будет равна высоте исходной призмы.

Основанием этого тела является фигура, полученная пересечением двух правильных треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ с общим центром $O$, причем второй треугольник повернут относительно первого на $180^\circ$. Такое пересечение образует правильный шестиугольник. Вершинами этого шестиугольника являются точки пересечения сторон треугольника $ABC$ со сторонами треугольника $A'B'C'$.

Следовательно, общая часть исходной и симметричной призм представляет собой призму, основанием которой является правильный шестиугольник, а высота равна высоте исходной призмы. Такая фигура называется правильной шестиугольной призмой.

Ответ: Общей частью исходной и симметричной призм является правильная шестиугольная призма.