Номер 4, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Два плоских угла трехгранного угла равны $60^\circ$ и $90^\circ$. В каких границах находится третий плоский угол:

A) больше $60^\circ$ и меньше $90^\circ$;

B) больше $90^\circ$ и меньше $150^\circ$;

C) больше $30^\circ$ и меньше $90^\circ$;

D) больше $30^\circ$ и меньше $150^\circ$?

Дано:

Трехгранный угол, у которого два плоских угла равны:

$\alpha = 60°$

$\beta = 90°$

Найти:

В каких границах находится третий плоский угол $\gamma$.

Решение:

Для любого трехгранного угла справедливы следующие свойства (неравенства для плоских углов):

1. Сумма всех плоских углов меньше $360°$.

2. Каждый плоский угол меньше суммы двух других.

Пусть $\gamma$ — искомый третий плоский угол. Запишем эти свойства в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma < 360° \\ \gamma < \alpha + \beta \\ \alpha < \beta + \gamma \\ \beta < \alpha + \gamma \end{cases} $

Подставим известные значения $\alpha = 60°$ и $\beta = 90°$ в систему:

$ \begin{cases} 60° + 90° + \gamma < 360° \\ \gamma < 60° + 90° \\ 60° < 90° + \gamma \\ 90° < 60° + \gamma \end{cases} $

Решим каждое неравенство относительно $\gamma$:

1. Из первого неравенства:

$150° + \gamma < 360°$

$\gamma < 360° - 150°$

$\gamma < 210°$

2. Из второго неравенства:

$\gamma < 150°$

3. Из третьего неравенства:

$60° - 90° < \gamma$

$-30° < \gamma$

Это неравенство всегда выполняется, так как плоский угол не может быть отрицательным.

4. Из четвертого неравенства:

$90° - 60° < \gamma$

$30° < \gamma$

Теперь объединим все полученные условия для $\gamma$:

$\gamma < 210°$

$\gamma < 150°$

$\gamma > 30°$

Наиболее строгими ограничениями являются $\gamma < 150°$ и $\gamma > 30°$. Следовательно, третий плоский угол должен находиться в интервале от $30°$ до $150°$.

$30° < \gamma < 150°$

Таким образом, третий плоский угол больше $30°$ и меньше $150°$. Это соответствует варианту D).

Ответ: D) больше 30° и меньше 150°?