Номер 11, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Вершинами какого многогранника являются центры граней

правильного тетраэдра:

A) тетраэдра;

B) куба;

C) октаэдра;

D) икосаэдра?

Решение

Чтобы определить, какой многогранник образуется, если его вершинами сделать центры граней правильного тетраэдра, нужно проанализировать свойства исходной фигуры и понятие двойственного многогранника. Многогранник, построенный таким образом, называется двойственным (или дуальным) к исходному.

Правильный тетраэдр — это один из пяти платоновых тел. Он обладает следующими характеристиками:

1. Количество граней: $Г = 4$. Все грани являются одинаковыми равносторонними треугольниками.

2. Количество вершин: $В = 4$.

3. Количество рёбер: $Р = 6$.

По условию, вершинами нового многогранника являются центры граней исходного тетраэдра. Поскольку у тетраэдра 4 грани, у нового многогранника будет 4 вершины.

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответа с точки зрения количества их вершин:

А) Тетраэдр: 4 вершины.

В) Куб: 8 вершин.

С) Октаэдр: 6 вершин.

D) Икосаэдр: 12 вершин.

Сравнивая количество вершин, мы видим, что единственным подходящим вариантом является тетраэдр.

Это можно подтвердить с помощью общего правила для двойственных многогранников. Для двойственного многогранника число вершин равно числу граней исходного, а число граней — числу вершин исходного. Число рёбер у обоих многогранников одинаково.

Для исходного тетраэдра ($В=4$, $Г=4$, $Р=6$), двойственный многогранник будет иметь:

- Число вершин = $Г_{исходного} = 4$.

- Число граней = $В_{исходного} = 4$.

- Число рёбер = $Р_{исходного} = 6$.

Многогранник, у которого 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, — это тетраэдр. Таким образом, правильный тетраэдр является двойственным самому себе (самодвойственным).

Ответ: А) тетраэдра.