Номер 10, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Сколько вершин имеет додекаэдр:

A) 8;

B) 12;

C) 16;

D) 20?

Дано:

Рассматривается правильный додекаэдр. Это многогранник со следующими свойствами:

1. Количество граней $Г = 12$.

2. Каждая грань — правильный пятиугольник (имеет $n=5$ вершин и сторон).

3. В каждой вершине многогранника сходится $k=3$ грани.

Найти:

Количество вершин $В$ додекаэдра.

Решение:

Для определения количества вершин додекаэдра можно воспользоваться несколькими методами.

Способ 1. Через подсчет вершин граней

Каждая из 12 граней додекаэдра является пятиугольником, то есть имеет 5 вершин. Если мы умножим количество граней на количество вершин в каждой грани, мы получим общее число вершин, если бы грани были разделены: $12 \times 5 = 60$.

Однако в структуре многогранника каждая вершина является общей для нескольких граней. Для додекаэдра известно, что в каждой вершине сходятся 3 грани. Это значит, что при простом умножении мы посчитали каждую уникальную вершину трижды. Чтобы найти истинное количество вершин ($В$), необходимо разделить полученный результат на 3:

$В = \frac{Г \times n}{k} = \frac{12 \times 5}{3} = \frac{60}{3} = 20$

Способ 2. С помощью формулы Эйлера для многогранников

Формула Эйлера для выпуклых многогранников связывает число вершин ($В$), рёбер ($Р$) и граней ($Г$) соотношением:

$В - Р + Г = 2$

Нам известно количество граней: $Г = 12$.

Сначала найдем количество рёбер ($Р$). Каждая грань (пятиугольник) имеет 5 рёбер. Произведение числа граней на число рёбер в одной грани равно $12 \times 5 = 60$. Поскольку каждое ребро в многограннике является общим для двух смежных граней, это число нужно разделить на 2:

$Р = \frac{12 \times 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Теперь мы можем подставить известные значения $Р=30$ и $Г=12$ в формулу Эйлера, чтобы найти количество вершин $В$:

$В - 30 + 12 = 2$

$В - 18 = 2$

$В = 2 + 18$

$В = 20$

Оба метода приводят к выводу, что у додекаэдра 20 вершин. Из предложенных вариантов ответа (A) 8; B) 12; C) 16; D) 20) верным является вариант D.

Ответ: D) 20.