Номер 7.14, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.14. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная:

a) треугольная призма (рис. 7.16);

б) шестиугольная призма (рис. 7.17)?

Рис. 7.16

Рис. 7.17

а) треугольная призма (рис. 7.16)

Решение
Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части (зеркальные отражения друг друга). У правильной треугольной призмы, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник, существуют следующие плоскости симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость проходит через середины боковых рёбер, параллельно основаниям призмы.
2. Три вертикальные плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей перпендикулярна основаниям призмы и проходит через одну из осей симметрии равностороннего треугольника, лежащего в основании. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (каждая из них является одновременно высотой, медианой и биссектрисой). Каждая такая плоскость содержит высоту одного основания и соответствующую высоту другого.
Таким образом, общее количество плоскостей симметрии равно $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4 плоскости симметрии.

б) шестиугольная призма (рис. 7.17)

Решение
У правильной шестиугольной призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник, также существуют два типа плоскостей симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Аналогично треугольной призме, она проходит через середины боковых рёбер, параллельно основаниям.
2. Шесть вертикальных плоскостей симметрии. Их количество равно количеству осей симметрии правильного шестиугольника, лежащего в основании. Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии. Соответственно, призма имеет шесть вертикальных плоскостей симметрии:
- Три плоскости, каждая из которых проходит через пару противоположных боковых рёбер призмы. Эти плоскости соответствуют осям симметрии основания, которые проходят через противоположные вершины шестиугольника.
- Три плоскости, каждая из которых проходит через середины противоположных боковых граней призмы. Эти плоскости соответствуют осям симметрии основания, которые проходят через середины противоположных сторон шестиугольника.
Таким образом, общее количество плоскостей симметрии равно $1 + 6 = 7$.
Ответ: 7 плоскостей симметрии.