Номер 7.7, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.7. Имеет ли правильная шестиугольная пирамида (рис. 7.19):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.19

а) центр симметрии
Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, что любое преобразование симметрии относительно этой точки переводит фигуру в себя. Для правильной шестиугольной пирамиды такой точки не существует. Если предположить, что центр симметрии есть, то, например, вершина пирамиды S должна была бы иметь симметричную ей точку S', также принадлежащую пирамиде. Однако, любая точка, симметричная вершине S относительно любой точки внутри пирамиды, будет лежать вне этой пирамиды. Следовательно, центр симметрии отсутствует.
Ответ: нет.

б) оси симметрии
Осью симметрии фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. У правильной шестиугольной пирамиды есть одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания (который является правильным шестиугольником).
При повороте вокруг этой оси на угол $360^\circ / 6 = 60^\circ$ (а также на углы, кратные ему), основание пирамиды совмещается само с собой, а вершина, лежащая на оси, остается неподвижной. Следовательно, вся пирамида совмещается сама с собой. Данная ось является осью симметрии 6-го порядка.
Ответ: да, одна ось симметрии 6-го порядка.

в) плоскости симметрии
Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 плоскостей симметрии.
1. Три плоскости симметрии проходят через вершину пирамиды и диагонали основания, соединяющие противоположные вершины (например, через вершину S и диагональ AD).
2. Три другие плоскости симметрии проходят через вершину пирамиды и отрезки, соединяющие середины противоположных сторон основания (например, через вершину S и середины сторон AB и DE).
Таким образом, всего у правильной шестиугольной пирамиды $3 + 3 = 6$ плоскостей симметрии.
Ответ: да, 6 плоскостей симметрии.