Номер 7.1, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.1. Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур в пространстве.

Фигура в пространстве называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$, называемая центром симметрии, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $A'$ находится на прямой $AO$ на том же расстоянии от $O$, что и точка $A$, но с другой стороны. Иными словами, точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Если поместить центр симметрии $O$ в начало координат, то для любой точки фигуры с координатами $(x, y, z)$ симметричная ей точка с координатами $(-x, -y, -z)$ также будет принадлежать этой фигуре.

Если для фигуры не существует ни одной такой точки $O$, то она называется не центрально-симметричной.

Примеры центрально-симметричных фигур в пространстве

К таким фигурам относятся те, которые имеют центр симметрии.

• Шар: центром симметрии является его геометрический центр.
• Куб: центром симметрии является точка пересечения его пространственных диагоналей.
• Параллелепипед: центром симметрии также является точка пересечения его диагоналей.
• Отрезок: центром симметрии является его середина.
• Прямая линия: любая точка на прямой является ее центром симметрии.
• Плоскость: любая точка на плоскости является ее центром симметрии.
• Правильный октаэдр: центром симметрии является его геометрический центр.

Примеры не центрально-симметричных фигур в пространстве

Эти фигуры не имеют точки, относительно которой вся фигура была бы симметрична самой себе.

• Тетраэдр (включая правильный): у него есть оси и плоскости симметрии, но нет центра симметрии. Вершины не имеют симметричных им вершин относительно какой-либо внутренней точки.
• Конус: не имеет центра симметрии. Уникальная точка — вершина — не имеет симметричной ей точки в пределах фигуры.
• Пирамида (любая): как и конус, не имеет центра симметрии из-за наличия единственной вершины, не имеющей симметричной пары.
• Полусфера: не имеет центра симметрии.
• Треугольная призма: поскольку ее основание (треугольник) не является центрально-симметричной фигурой на плоскости, сама призма также не является центрально-симметричной.
• Произвольные фигуры: большинство объектов в реальном мире, например, стул, чашка, человеческая рука, не являются центрально-симметричными.

Ответ:

Примеры центрально-симметричных фигур в пространстве: шар, куб, параллелепипед, отрезок, прямая, плоскость.

Примеры не центрально-симметричных фигур в пространстве: тетраэдр, конус, любая пирамида, полусфера, треугольная призма.