Номер 7.2, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.2. Имеет ли куб (рис. 7.14):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Формулы, распознанные на изображении: $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$

Рис. 7.14

а)

Центр симметрии фигуры – это такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры, точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Куб имеет центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его пространственных диагоналей (например, диагоналей $AC_1$ и $BD_1$ на рисунке). Эта точка является геометрическим центром куба. Если взять любую точку, принадлежащую кубу, и отразить ее симметрично относительно этого центра, полученная точка также будет принадлежать кубу. Например, вершина $A$ симметрична вершине $C_1$, вершина $B$ — вершине $D_1$, центр грани $ABCD$ — центру грани $A_1B_1C_1D_1$ и так далее.

Ответ: да, куб имеет центр симметрии.

б)

Ось симметрии – это такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньший $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой.

Куб имеет 13 осей симметрии, которые можно разделить на три типа:

1. Три оси, проходящие через центры противоположных граней. Поворот вокруг этих осей на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ совмещает куб сам с собой.

2. Шесть осей, проходящие через середины противоположных ребер. Поворот вокруг этих осей на угол $180^\circ$ совмещает куб сам с собой.

3. Четыре оси, проходящие через противоположные вершины (это пространственные диагонали куба). Поворот вокруг этих осей на углы $120^\circ$ и $240^\circ$ совмещает куб сам с собой.

Ответ: да, куб имеет оси симметрии.

в)

Плоскость симметрии – это такая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга.

Куб имеет 9 плоскостей симметрии, которые можно разделить на два типа:

1. Три плоскости, которые проходят через середины параллельных ребер и параллельны граням куба. Каждая такая плоскость делит куб на два равных прямоугольных параллелепипеда.

2. Шесть диагональных плоскостей, каждая из которых проходит через два противоположных ребра куба. Например, плоскость, проходящая через вершины $A$, $C$, $C_1$, $A_1$.

Ответ: да, куб имеет плоскости симметрии.