Страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.5. Имеет ли правильная шестиугольная призма (рис. 7.17):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

$A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$, $F_1$

Рис. 7.17

а) центр симметрии

Да, правильная шестиугольная призма имеет центр симметрии. Центром симметрии называется точка, относительно которой любая точка фигуры симметрична другой точке этой же фигуры. Для правильной шестиугольной призмы такой точкой является середина отрезка, соединяющего центры её оснований. Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований (правильных шестиугольников), которые сами по себе являются центросимметричными фигурами. Центр симметрии всей призмы будет находиться в середине отрезка $OO_1$. При симметрии относительно этой точки каждая вершина, ребро или грань призмы отображается на другую соответствующую вершину, ребро или грань. Например, вершина $A$ нижнего основания симметрична вершине $D_1$ верхнего основания.

Ответ: да, имеет.

б) оси симметрии

Да, правильная шестиугольная призма имеет оси симметрии. Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньше $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной шестиугольной призмы существует 7 осей симметрии:
1. Одна ось шестого порядка. Это прямая, проходящая через центры верхнего и нижнего оснований. Поворот вокруг этой оси на угол $k \cdot 60^\circ$ (где $k = 1, 2, 3, 4, 5$) совмещает призму саму с собой.
2. Шесть осей второго порядка (поворот на $180^\circ$). Эти оси лежат в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через середину высоты призмы. Они делятся на два типа:
- Три оси, проходящие через середины противоположных боковых рёбер (например, ось, соединяющая середины рёбер $AA_1$ и $DD_1$).
- Три оси, проходящие через центры противоположных боковых граней (например, ось, соединяющая центры граней $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$).

Ответ: да, имеет.

в) плоскости симметрии

Да, правильная шестиугольная призма имеет плоскости симметрии. Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально равные части. У правильной шестиугольной призмы существует 7 плоскостей симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость. Она параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы.
2. Шесть вертикальных плоскостей. Эти плоскости проходят через главную ось симметрии (ось шестого порядка) и делятся на два типа:
- Три диагональные плоскости, которые проходят через противоположные боковые рёбра призмы (например, плоскость, содержащая рёбра $AA_1$ и $DD_1$).
- Три плоскости, которые проходят через середины противоположных сторон оснований, а следовательно, и через середины противоположных боковых граней (например, плоскость, проходящая через середины рёбер $AB$ и $A_1B_1$ и середины рёбер $ED$ и $E_1D_1$).

Ответ: да, имеет.

7.6. Имеет ли правильная четырехугольная пирамида (рис. 7.18):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.18

а) центр симметрии

Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура отображается сама на себя. Для любой точки фигуры $M$ должна существовать симметричная ей точка $M'$, также принадлежащая фигуре. В правильной четырехугольной пирамиде такой точки нет. Если предположить, что центр симметрии существует, то для вершины пирамиды $S$ должна существовать симметричная ей точка $S'$, также принадлежащая пирамиде. Эта точка $S'$ должна находиться по другую сторону от предполагаемого центра симметрии на том же расстоянии. Однако в пирамиде нет такой точки, которая могла бы быть симметричной вершине. Вершина $S$ является единственной точкой на данной высоте, в то время как ее симметричное отражение находилось бы под основанием, то есть вне фигуры.

Ответ: Нет, правильная четырехугольная пирамида не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии

Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (не кратный $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной четырехугольной пирамиды есть одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания (который является центром квадрата). При повороте вокруг этой оси на $90^\circ$, $180^\circ$ или $270^\circ$ пирамида переходит сама в себя. Эта ось называется осью симметрии четвертого порядка. Других осей симметрии у данной фигуры нет.

Ответ: Да, имеет одну ось симметрии.

в) плоскости симметрии

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии:

1. Две диагональные плоскости. Каждая такая плоскость проходит через диагональ основания и вершину пирамиды. Например, плоскость $(SAC)$ и плоскость $(SBD)$. Плоскость $(SAC)$ является плоскостью симметрии, так как она отражает ребро $SB$ на $SD$, а ребро $AB$ на $AD$.

2. Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и середины противоположных сторон основания. Эти плоскости проходят через апофемы противолежащих боковых граней. Например, если $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно, то плоскость $(SMN)$ является плоскостью симметрии. Она отражает вершину $A$ в $B$, а $D$ в $C$. Аналогично для плоскости, проходящей через вершину $S$ и середины сторон $BC$ и $AD$.

Ответ: Да, имеет четыре плоскости симметрии.

7.7. Имеет ли правильная шестиугольная пирамида (рис. 7.19):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.19

а) центр симметрии
Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, что любое преобразование симметрии относительно этой точки переводит фигуру в себя. Для правильной шестиугольной пирамиды такой точки не существует. Если предположить, что центр симметрии есть, то, например, вершина пирамиды S должна была бы иметь симметричную ей точку S', также принадлежащую пирамиде. Однако, любая точка, симметричная вершине S относительно любой точки внутри пирамиды, будет лежать вне этой пирамиды. Следовательно, центр симметрии отсутствует.
Ответ: нет.

б) оси симметрии
Осью симметрии фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. У правильной шестиугольной пирамиды есть одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания (который является правильным шестиугольником).
При повороте вокруг этой оси на угол $360^\circ / 6 = 60^\circ$ (а также на углы, кратные ему), основание пирамиды совмещается само с собой, а вершина, лежащая на оси, остается неподвижной. Следовательно, вся пирамида совмещается сама с собой. Данная ось является осью симметрии 6-го порядка.
Ответ: да, одна ось симметрии 6-го порядка.

в) плоскости симметрии
Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 плоскостей симметрии.
1. Три плоскости симметрии проходят через вершину пирамиды и диагонали основания, соединяющие противоположные вершины (например, через вершину S и диагональ AD).
2. Три другие плоскости симметрии проходят через вершину пирамиды и отрезки, соединяющие середины противоположных сторон основания (например, через вершину S и середины сторон AB и DE).
Таким образом, всего у правильной шестиугольной пирамиды $3 + 3 = 6$ плоскостей симметрии.
Ответ: да, 6 плоскостей симметрии.