Номер 19, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр:

A) 3;

B) 6;

C) 8;

D) 9?

Правильный тетраэдр — это объёмная геометрическая фигура, многогранник, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Соответственно, все шесть рёбер тетраэдра равны между собой, и все его четыре вершины равноправны.

Плоскость симметрии — это воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся точными зеркальными отражениями друг друга.

Чтобы определить количество плоскостей симметрии у правильного тетраэдра, нужно найти все возможные плоскости, относительно которых он симметричен.

Каждая плоскость симметрии правильного тетраэдра проходит через одно из его рёбер и через середину противоположного (скрещивающегося) ему ребра.

Рассмотрим, почему такая плоскость является плоскостью симметрии. Обозначим вершины тетраэдра как $A, B, C, D$. Выберем одну из таких плоскостей, например, ту, что проходит через ребро $AB$ и середину $M$ противоположного ребра $CD$.

1. Так как тетраэдр правильный, его грани $ACD$ и $BCD$ — это равносторонние треугольники.
2. В равностороннем треугольнике $ACD$ медиана $AM$ (проведенная к стороне $CD$) является также и высотой. Следовательно, отрезок $AM$ перпендикулярен ребру $CD$ ($AM \perp CD$).
3. Аналогично, в равностороннем треугольнике $BCD$ медиана $BM$ является высотой, и, значит, $BM \perp CD$.

Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AM$ и $BM$), лежащим в рассматриваемой плоскости, то прямая $CD$ перпендикулярна всей этой плоскости. Так как плоскость проходит через середину $M$ отрезка $CD$ и перпендикулярна ему, она является плоскостью симметрии для точек $C$ и $D$ (то есть, отражение точки $C$ относительно этой плоскости есть точка $D$, и наоборот). Точки $A$ и $B$ лежат в самой плоскости, поэтому при отражении они переходят сами в себя. Таким образом, вся фигура (тетраэдр $ABCD$) при отражении переходит сама в себя, а значит, эта плоскость является плоскостью симметрии.

Теперь посчитаем общее количество таких плоскостей. У тетраэдра 6 рёбер. Каждое ребро образует одну уникальную плоскость симметрии с серединой противолежащего ребра.
Список рёбер и их противоположных пар:
• Ребро $AB$ и ребро $CD$
• Ребро $AC$ и ребро $BD$
• Ребро $AD$ и ребро $BC$

Для каждой пары скрещивающихся рёбер можно провести две плоскости симметрии: одну через первое ребро и середину второго, и вторую — через второе ребро и середину первого. Однако, в случае тетраэдра, плоскость, проходящая через ребро $AB$ и середину $CD$, — это та же самая плоскость, что и плоскость, проходящая через середину $AB$ и ребро $CD$. Нет, это неверно. Плоскость определяется тремя точками, например, A, B и M(середина CD). Это одна плоскость. Другая плоскость - C, D и N(середина AB). Это другая плоскость.
Поэтому для каждого ребра существует одна своя плоскость симметрии:
1. Плоскость, проходящая через ребро $AB$ и середину ребра $CD$.
2. Плоскость, проходящая через ребро $CD$ и середину ребра $AB$.
3. Плоскость, проходящая через ребро $AC$ и середину ребра $BD$.
4. Плоскость, проходящая через ребро $BD$ и середину ребра $AC$.
5. Плоскость, проходящая через ребро $AD$ и середину ребра $BC$.
6. Плоскость, проходящая через ребро $BC$ и середину ребра $AD$.

Всего получается 6 различных плоскостей симметрии.

Ответ: 6.