Номер 6.18, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.18. Постройте сечение куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через середину $E$ ребра $BB_1$ и перпендикулярной прямой $AD_1$ (рис. 6.25).

Рис. 6.25

Решение

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ — середину ребра $BB_1$ — и перпендикулярна прямой $AD_1$. Прямая $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$.

Для построения плоскости, перпендикулярной данной прямой, можно найти другую плоскость, перпендикулярную этой же прямой, и затем построить искомую плоскость параллельно ей.

1. Нахождение вспомогательной плоскости, перпендикулярной $AD_1$.
Плоскость перпендикулярна прямой, если она содержит две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой.

- В грани $ADD_1A_1$, которая является квадратом, диагонали $AD_1$ и $A_1D$ взаимно перпендикулярны. Таким образом, $A_1D \perp AD_1$.

- Ребро $A_1B_1$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, так как $A_1B_1 \perp AA_1$ и $A_1B_1 \perp A_1D_1$. Следовательно, ребро $A_1B_1$ перпендикулярно любой прямой в этой грани, включая $AD_1$. Таким образом, $A_1B_1 \perp AD_1$.

- Прямые $A_1D$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $A_1$ и обе перпендикулярны прямой $AD_1$. Следовательно, плоскость $\beta = (A_1B_1D)$, проходящая через эти прямые, перпендикулярна прямой $AD_1$.

2. Построение сечения.
Искомая плоскость сечения $\alpha$ должна быть параллельна плоскости $\beta = (A_1B_1D)$, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой $AD_1$. Мы будем строить сечение, используя свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

- Шаг 1. Построение в грани $ABB_1A_1$. Искомая плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ (середина $BB_1$), которая лежит в грани $ABB_1A_1$. Линия пересечения (след) плоскости $\beta=(A_1B_1D)$ с плоскостью грани $ABB_1A_1$ — это прямая $A_1B_1$. Следовательно, след плоскости $\alpha$ на этой грани должен проходить через точку $E$ параллельно прямой $A_1B_1$. Проведем через $E$ прямую, параллельную $A_1B_1$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в его середине. Обозначим эту точку $F$. Отрезок $FE$ — первая сторона искомого сечения.

- Шаг 2. Построение в грани $ADD_1A_1$. Теперь у нас есть точка $F$ (середина $AA_1$) в грани $ADD_1A_1$. След плоскости $\beta=(A_1B_1D)$ на этой грани — это прямая $A_1D$. Значит, след плоскости $\alpha$ на этой грани должен проходить через точку $F$ параллельно прямой $A_1D$. Проведем через $F$ прямую, параллельную $A_1D$. Эта прямая является средней линией треугольника $AA_1D$ и пересекает ребро $AD$ в его середине. Обозначим эту точку $H$. Отрезок $FH$ — вторая сторона сечения.

- Шаг 3. Построение в грани $ABCD$. Теперь у нас есть точка $H$ (середина $AD$) в грани $ABCD$. След плоскости $\beta=(A_1B_1D)$ на этой грани — это прямая $DB$. Однако, для построения проще найти след $\beta$ на плоскости $z=0$ (плоскость основания). Это прямая $DC$. Проверим это: плоскость $(A_1B_1D)$ проходит через $D$, а прямая $A_1B_1$ параллельна плоскости основания. След такой плоскости на плоскости основания будет проходить через $D$ параллельно $A_1B_1$, то есть параллельно $AB$. Это прямая $DC$. Итак, след плоскости $\alpha$ на грани $ABCD$ должен проходить через точку $H$ параллельно $DC$. Прямая, проходящая через середину стороны $AD$ параллельно стороне $DC$, пересечет противоположную сторону $BC$ в ее середине. Обозначим эту точку $G$. Отрезок $HG$ — третья сторона сечения.

- Шаг 4. Завершение построения. Мы получили точки $E$, $F$, $H$, $G$, являющиеся серединами ребер $BB_1$, $AA_1$, $AD$, $BC$ соответственно. Соединив точку $G$ (середина $BC$) с точкой $E$ (середина $BB_1$), мы получим отрезок $GE$, который лежит в грани $BCC_1B_1$. Этот отрезок замыкает сечение. Для проверки можно убедиться, что $GE$ параллельна следу плоскости $\beta=(A_1B_1D)$ на грани $BCC_1B_1$ (этот след - прямая $B_1C$, а $GE$ - средняя линия треугольника $BB_1C$).

Искомым сечением является четырехугольник $FEGH$. Докажем, что это прямоугольник. - $FE$ соединяет середины $AA_1$ и $BB_1$, поэтому $FE || AB$. - $HG$ соединяет середины $AD$ и $BC$, поэтому $HG || AB$. - Следовательно, $FE || HG$ и $FE = HG$, значит $FEGH$ — параллелограмм. - $FH$ — средняя линия треугольника $AA_1D$, поэтому $FH || A_1D$. - Прямая $AB \perp$ плоскости $ADD_1A_1$, значит $AB \perp A_1D$. - Так как $FE || AB$ и $FH || A_1D$, то $FE \perp FH$. - Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Искомое сечение — это прямоугольник $FEGH$, вершины которого являются серединами ребер $AA_1$, $BB_1$, $BC$ и $AD$. Построение показано на рисунке.