Номер 6.12, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.12. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$ (рис. 6.19).

Рис. 6.19

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки $E$, $F$, $G$, такие, что $E \in AB$, $F \in CC_1$, $G \in A_1D_1$.

Найти:

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$.

Решение:

Построение искомого сечения выполняется в несколько этапов с использованием метода следов и свойства параллельности граней куба.

1. Построим след секущей плоскости $(EFG)$ на плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Точка $G$ уже лежит в этой плоскости. Для построения прямой (следа) нам необходима вторая точка. Найдем точку $P$ — точку пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$.

2. Для нахождения точки $P$ воспользуемся методом проекций. Спроецируем прямую $EF$ на плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельно боковому ребру $AA_1$. Проекцией точки $E$, лежащей на ребре $AB$, является точка $E_1$ на ребре $A_1B_1$ (где $EE_1 \parallel AA_1$). Проекцией точки $F$, лежащей на ребре $CC_1$, является точка $C_1$. Таким образом, проекцией прямой $EF$ на плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ является прямая $E_1C_1$.

3. Прямая $EF$ и ее проекция $E_1C_1$ лежат в одной плоскости $(EFC_1E_1)$. Следовательно, они пересекаются в некоторой точке $P$ (если они не параллельны). Продлим отрезки $EF$ и $E_1C_1$ до их пересечения. Так как точка $P$ лежит на прямой $E_1C_1$, которая находится в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, то точка $P$ является точкой пересечения прямой $EF$ с плоскостью верхней грани.

4. Теперь в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: $G$ и $P$. Прямая $PG$ является следом секущей плоскости на плоскости верхней грани. Эта прямая пересекает ребра верхней грани в точках, которые будут вершинами искомого сечения. Пусть прямая $PG$ пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $M$ и ребро $D_1C_1$ в точке $H$. Отрезки $MG$ и $GH$ – это стороны сечения, лежащие в верхней грани.

5. Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Плоскость нижней грани $(ABCD)$ параллельна плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Следовательно, след секущей плоскости на нижней грани должен быть параллелен следу на верхней грани, то есть прямой $MH$ (или $PG$).

6. Проведем в плоскости $(ABCD)$ через заданную точку $E$ прямую, параллельную прямой $MH$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в некоторой точке $N$. Отрезок $EN$ – это сторона сечения, лежащая в нижней грани.

7. Таким образом, мы получили шесть вершин искомого сечения, лежащих на ребрах куба: $E \in AB$, $N \in BC$, $F \in CC_1$, $H \in D_1C_1$, $G \in A_1D_1$ и $M \in A_1B_1$. Последовательно соединяя их, получаем стороны сечения, каждая из которых лежит в соответствующей грани: $ME$ в грани $(ABB_1A_1)$, $EN$ в грани $(ABCD)$, $NF$ в грани $(BCC_1B_1)$, $FH$ в грани $(DCC_1D_1)$, а также $HG$ и $GM$ в грани $(A_1B_1C_1D_1)$.

8. Искомое сечение – шестиугольник $ENFHGM$.

Ответ: Искомое сечение является шестиугольником $ENFHGM$, вершины которого лежат на ребрах куба: $E$ на $AB$, $N$ на $BC$, $F$ на $CC_1$, $H$ на $D_1C_1$, $G$ на $A_1D_1$ и $M$ на $A_1B_1$. Построение шестиугольника описано в решении.