Номер 6.16, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.16. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C$ и $E_1$ (рис. 6.23).

Рис. 6.23

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Секущая плоскость $\alpha$, проходящая через вершины A, C и E₁.

Найти:

Построить сечение призмы плоскостью $\alpha$.

Решение

Построение искомого сечения будем выполнять пошагово, находя точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы и соединяя их.

1. Точки A и C принадлежат секущей плоскости $\alpha$ и одновременно лежат в плоскости нижнего основания призмы (ABC). Следовательно, отрезок AC является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Соединяем точки A и C. Отрезок AC — первая сторона искомого сечения.

2. Плоскости нижнего (ABC) и верхнего ($A_1B_1C_1$) оснований призмы параллельны. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — прямая AC. Значит, линия пересечения с верхним основанием — это прямая, проходящая через точку E₁ и параллельная прямой AC.

3. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AC параллельна диагонали FD. Следовательно, в плоскости верхнего основания искомая линия пересечения должна проходить через точку E₁ параллельно диагонали $F_1D_1$. Можно показать, что такая прямая касается шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ только в одной точке — E₁. Это означает, что точка E₁ является вершиной сечения, но на грани верхнего основания нет стороны сечения.

4. Теперь найдём точки пересечения секущей плоскости с боковыми гранями и ребрами призмы. Для этого воспользуемся свойством параллельности боковых граней. В правильной шестиугольной призме противоположные боковые грани параллельны. В частности, грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $AFF_1A_1$. Секущая плоскость $\alpha$ будет пересекать эти грани по параллельным прямым.

5. Построим точку M — точку пересечения секущей плоскости $\alpha$ с ребром $DD_1$. Для этого рассмотрим плоскость диагонального сечения призмы $ADD_1A_1$. Эта плоскость содержит ребро $DD_1$. Найдём линию пересечения плоскости $\alpha = (ACE_1)$ с плоскостью $(ADD_1A_1)$. Точка A является общей для обеих плоскостей. Вторую общую точку K найдём как точку пересечения прямой $CE_1$ (лежащей в плоскости $\alpha$) с плоскостью $(ADD_1A_1)$. Линия пересечения двух плоскостей — прямая AK. Точка пересечения прямой AK с ребром $DD_1$ и есть искомая точка M. Таким образом, M — вершина сечения на ребре $DD_1$.

6. Теперь, когда у нас есть точка M на ребре $DD_1$, мы можем построить две стороны сечения. Точки C и M лежат в одной грани $CDD_1C_1$, соединяем их. Отрезок CM — сторона сечения. Точки M и E₁ лежат в одной грани $EDD_1E_1$, соединяем их. Отрезок ME₁ — сторона сечения.

7. Как было упомянуто в шаге 4, грани $CDD_1C_1$ и $AFF_1A_1$ параллельны, значит линии их пересечения с плоскостью $\alpha$ также параллельны. Мы уже имеем линию пересечения с гранью $CDD_1C_1$ — это отрезок CM. Линия пересечения с гранью $AFF_1A_1$ должна проходить через точку A и быть параллельна CM. Проведём через точку A прямую, параллельную CM. Она пересечёт боковое ребро $FF_1$ в некоторой точке N. Отрезок AN — сторона сечения.

8. Точки N и E₁ обе лежат в плоскости боковой грани $FEE_1F_1$ (N лежит на ребре $FF_1$, а E₁ — вершина этой грани). Соединяем их. Отрезок NE₁ — последняя сторона сечения.

9. В результате мы последовательно соединили вершины A → C → M → E₁ → N → A. Все эти отрезки лежат в гранях призмы и в секущей плоскости.

Таким образом, искомое сечение — это пятиугольник ACME₁N.

Ответ: Искомое сечение представляет собой пятиугольник ACME₁N, где точка M лежит на ребре $DD_1$, а точка N — на ребре $FF_1$. Построение сечения показано на рисунке и описано в решении.