Номер 6.10, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.10. Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершины $F$, $C$ и середину $G$ ребра $SE$ (рис. 6.17).

Рис. 6.17

Решение

Построение искомого сечения правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки F, C и G (середину ребра SE), выполняется в несколько шагов:

1. Построение отрезков сечения в известных гранях.
Точки F и C — это вершины основания пирамиды, они лежат в плоскости основания (ABC). Следовательно, отрезок FC является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью основания и одной из сторон искомого сечения.Точки F (вершина основания) и G (середина ребра SE) обе лежат в плоскости боковой грани (SEF). Соединяем их и получаем отрезок FG, который является еще одной стороной сечения.

2. Построение сечения в грани (SDE) методом параллельных прямых.
Рассмотрим плоскость сечения (FGC) и плоскость грани (SDE). Нам нужно найти линию их пересечения.В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник ABCDEF. В нем большая диагональ CF параллельна стороне DE ($CF \parallel DE$).Мы имеем две пересекающиеся плоскости (FGC) и (SDE), которые содержат две параллельные прямые FC и DE соответственно. По свойству, линия пересечения таких плоскостей будет параллельна этим прямым.Нам известна одна общая точка этих плоскостей — точка G, которая по условию лежит в секущей плоскости и одновременно на ребре SE грани (SDE).Таким образом, линия пересечения — это прямая, проходящая через точку G параллельно DE. Проведем в плоскости грани (SDE) отрезок GH, параллельный DE, где точка H лежит на ребре SD.

3. Определение положения точки H.
В треугольнике $\triangle SDE$ отрезок GH проведен параллельно основанию DE. Так как точка G является серединой стороны SE, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle SGH$ и $\triangle SDE$, где коэффициент подобия $k = \frac{SG}{SE} = \frac{1}{2}$), отрезок GH является средней линией. Следовательно, точка H — середина стороны SD. Отрезок GH является третьей стороной сечения.

4. Завершение построения.
Теперь в плоскости грани (SCD) у нас есть две точки, принадлежащие сечению: вершина C и построенная точка H (середина SD). Соединяем их отрезком CH. Этот отрезок является четвертой и последней стороной сечения.

В результате мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник FGHC, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник FGHC, где H — середина ребра SD.