Номер 6.3, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.3. Постройте сечение куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$, параллельной ребру $CC_{1}$ (рис. 6.10).

Рис. 6.10

Решение

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Обозначим заданные точки: $E$ — середина ребра $AB$, $F$ — середина ребра $BC$. Обе точки лежат в секущей плоскости, а также в плоскости нижнего основания куба $ABCD$. Следовательно, отрезок $EF$, соединяющий эти точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $ABCD$.

2. По условию, секущая плоскость параллельна ребру $CC_1$. В кубе все боковые ребра параллельны друг другу, то есть $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$. Таким образом, секущая плоскость параллельна всем боковым ребрам куба.

3. Секущая плоскость проходит через точку $E$, лежащую в плоскости грани $ABB_1A_1$. Так как секущая плоскость параллельна ребру $AA_1$ (поскольку $AA_1 \parallel CC_1$), то линия их пересечения будет проходить через точку $E$ параллельно ребру $AA_1$. Проведем отрезок $EE_1$ в грани $ABB_1A_1$ так, что $E_1$ лежит на ребре $A_1B_1$ и $EE_1 \parallel AA_1$. Поскольку $E$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса точка $E_1$ будет серединой ребра $A_1B_1$.

4. Аналогично, секущая плоскость проходит через точку $F$, лежащую в плоскости грани $BCC_1B_1$. Так как секущая плоскость параллельна ребру $BB_1$, то линия их пересечения будет проходить через точку $F$ параллельно ребру $BB_1$. Проведем отрезок $FF_1$ в грани $BCC_1B_1$ так, что $F_1$ лежит на ребре $B_1C_1$ и $FF_1 \parallel BB_1$. Поскольку $F$ — середина $BC$, то точка $F_1$ будет серединой ребра $B_1C_1$.

5. Точки $E_1$ и $F_1$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Соединим эти точки отрезком $E_1F_1$.

6. В результате последовательного построения мы получили замкнутый четырехугольник $EFF_1E_1$. Этот четырехугольник и является искомым сечением куба.

Теперь определим вид этого четырехугольника.

По построению $EE_1 \parallel AA_1$ и $FF_1 \parallel BB_1$. В кубе $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$. Следовательно, $EE_1 \parallel FF_1$ и $EE_1 = FF_1$. Четырехугольник $EFF_1E_1$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Докажем, что этот параллелограмм — прямоугольник. Ребро куба $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Так как $EE_1 \parallel AA_1$, то и отрезок $EE_1$ перпендикулярен плоскости $ABCD$. Отрезок $EF$ лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $E$. Следовательно, $EE_1 \perp EF$, и угол $\angle FEE_1 = 90^\circ$.

Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $EFF_1E_1$ — это прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — прямоугольник $EFF_1E_1$, вершины которого являются серединами ребер $AB, BC, B_1C_1, A_1B_1$.