Номер 5.25, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.25. Повторите формулы площадей плоских фигур.

Ниже приведены основные формулы для вычисления площадей плоских геометрических фигур.

Квадрат

Площадь квадрата можно вычислить, зная длину его стороны или длину диагонали.

1. Через сторону: площадь равна квадрату длины стороны.

Ответ: $S = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

2. Через диагональ: площадь равна половине квадрата длины диагонали.

Ответ: $S = \frac{1}{2}d^2$, где $d$ — длина диагонали квадрата.

Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон (длины и ширины).

Ответ: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

Параллелограмм

Площадь параллелограмма можно найти несколькими способами.

1. Через сторону и высоту: площадь равна произведению длины стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

Ответ: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.

2. Через две стороны и угол между ними: площадь равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними.

Ответ: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, $\alpha$ — угол между ними.

Треугольник

Существует множество формул для вычисления площади треугольника.

1. Через основание и высоту: площадь равна половине произведения длины основания на длину высоты, проведенной к этому основанию.

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$, где $a$ — основание, $h_a$ — высота, проведенная к основанию $a$.

2. Через две стороны и угол между ними: площадь равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними.

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — две стороны, $\gamma$ — угол между ними.

3. Формула Герона: площадь можно вычислить, зная длины всех трех сторон.

Ответ: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — длины сторон, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

4. Через радиус вписанной окружности: площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

5. Через радиус описанной окружности: площадь равна произведению длин всех сторон, деленному на четыре радиуса описанной окружности.

Ответ: $S = \frac{abc}{4R}$, где $a, b, c$ — стороны, $R$ — радиус описанной окружности.

Трапеция

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Основания — это две параллельные стороны трапеции.

Ответ: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота трапеции.

Ромб

Площадь ромба можно найти как через его диагонали, так и через сторону и высоту или угол.

1. Через диагонали: площадь равна половине произведения длин его диагоналей.

Ответ: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

2. Через сторону и высоту: поскольку ромб является параллелограммом, его площадь равна произведению стороны на высоту.

Ответ: $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота.

3. Через сторону и угол: площадь равна квадрату стороны, умноженному на синус угла ромба.

Ответ: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — любой внутренний угол ромба.

Круг

Площадь круга вычисляется через его радиус или диаметр.

1. Через радиус: площадь равна произведению числа $\pi$ на квадрат радиуса.

Ответ: $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.

2. Через диаметр: площадь равна четверти произведения числа $\pi$ на квадрат диаметра.

Ответ: $S = \frac{\pi D^2}{4}$, где $D$ — диаметр круга ($D=2R$).

Правильный многоугольник

Площадь правильного многоугольника (у которого все стороны и углы равны) можно вычислить, зная его периметр и радиус вписанной окружности (апофему).

Ответ: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $P$ — периметр многоугольника, $r$ — радиус вписанной окружности (апофема).