Номер 5.21, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.21. На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке Б.5. Отметьте центры граней додекаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

5.22. Сколько имеется нитей длиной 3 см по ребрам единичного...

Решение

Задача состоит из трех частей: построение изображения додекаэдра, отметка центров его граней и определение многогранника, вершинами которого являются эти центры.

1. Изображение додекаэдра. Додекаэдр — это один из пяти правильных многогранников (Платоновых тел), состоящий из 12 одинаковых правильных пятиугольников, которые являются его гранями. При изображении на плоскости (на листе в клетку) используется проекция. Обычно начинают с центральной грани (пятиугольника), а затем достраивают "видимые" соседние грани, искажая их форму в соответствии с правилами перспективы. "Невидимые" грани и ребра изображают штриховыми линиями.

2. Отметка центров граней. Центр каждой грани (правильного пятиугольника) — это точка, равноудаленная от всех его вершин. На проекции додекаэдра мы отмечаем геометрический центр каждого изображенного пятиугольника. Всего будет отмечено 12 точек, так как у додекаэдра 12 граней.

3. Определение нового многогранника. Если соединить отрезками центры соседних граней додекаэдра, то эти отрезки образуют ребра нового многогранника, а сами центры станут его вершинами. Давайте определим, что это за многогранник.

• Вершины нового многогранника. Количество вершин нового многогранника равно количеству граней исходного додекаэдра. У додекаэдра 12 граней, следовательно, у нового многогранника будет 12 вершин.

• Грани нового многогранника. Каждая вершина додекаэдра является точкой схода трех граней. Если мы соединим центры этих трех граней, мы получим треугольную грань нового многогранника. Количество граней нового многогранника будет равно количеству вершин исходного додекаэдра. У додекаэдра 20 вершин, следовательно, у нового многогранника будет 20 граней, и все они будут правильными треугольниками.

Многогранник, имеющий 12 вершин и 20 граней в форме правильных треугольников, называется икосаэдром.

Таким образом, операция построения нового многогранника путем соединения центров граней исходного называется построением двойственного (или дуального) многогранника. Додекаэдр и икосаэдр являются двойственными друг другу.

Ответ: Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра.