Номер 6.1, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.1. Постройте сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $F$ и параллельной ребру $BD$ (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Решение

Для построения сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E$ и $F$ и параллельной ребру $BD$, выполним следующие шаги:

1. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $AB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат одной грани $ABC$. Следовательно, эти точки можно соединить отрезком. Отрезок $EF$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $ABC$.

2. Секущая плоскость (обозначим ее $\alpha$) по условию параллельна ребру $BD$. Точка $E$ также принадлежит секущей плоскости $\alpha$ и лежит в плоскости грани $ABD$ (которая содержит ребро $BD$). По теореме о следе, если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. В нашем случае, если плоскость ($\alpha$) проходит через точку ($E$) параллельно прямой ($BD$), то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью, содержащей эту точку и прямую (плоскость $ABD$), есть прямая, проходящая через точку $E$ параллельно прямой $BD$. Таким образом, в плоскости грани $ABD$ проводим прямую через точку $E$ параллельно ребру $BD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AD$ обозначим $G$. Отрезок $EG$ — это след секущей плоскости на грани $ABD$. По построению имеем $EG \parallel BD$.

3. Аналогично рассуждаем для грани $BCD$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $F$ (лежащую на ребре $BC$) и параллельна ребру $BD$. Обе, точка $F$ и ребро $BD$, лежат в плоскости грани $BCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $BCD$ должна проходить через точку $F$ и быть параллельной $BD$. Проводим в плоскости грани $BCD$ прямую через точку $F$ параллельно $BD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $CD$ обозначим $H$. Отрезок $FH$ — это след секущей плоскости на грани $BCD$. По построению имеем $FH \parallel BD$.

4. Соединяем полученные точки. Точки $G$ и $H$ лежат на ребрах $AD$ и $CD$ соответственно, а значит, принадлежат плоскости грани $ACD$. Соединяем их отрезком. Отрезок $GH$ является следом секущей плоскости на грани $ACD$.

В результате последовательного построения следов секущей плоскости на гранях тетраэдра мы получили замкнутый четырехугольник $EFHG$. Этот четырехугольник и является искомым сечением. Так как по построению $EG \parallel BD$ и $FH \parallel BD$, то отрезки $EG$ и $FH$ параллельны между собой. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, сечение $EFHG$ — трапеция.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник (трапеция) $EFHG$, где точка $G$ лежит на ребре $AD$ и $EG \parallel BD$, а точка $H$ лежит на ребре $CD$ и $FH \parallel BD$.