Страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется сечением многогранника плоскостью?

2. В чем заключается метод следов?

Сечением многогранника плоскостью называется плоская фигура, которая образуется при пересечении многогранника этой плоскостью. Говоря точнее, сечение — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника. Вершины этого многоугольника — это точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра многогранника.
Для построения сечения необходимо найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и затем последовательно соединить те из них, которые лежат в плоскости одной и той же грани. В результате получается замкнутая ломаная, ограничивающая многоугольник, который и является искомым сечением.
Ответ: Сечение многогранника плоскостью — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

2. Метод следов — это один из основных методов построения сечений многогранников. Он заключается в последовательном нахождении прямых, по которым секущая плоскость пересекается с плоскостями граней многогранника. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости грани.
Алгоритм построения сечения методом следов:
1. Находят прямую пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью одной из граней многогранника (часто это плоскость основания). Для этого, как правило, находят две точки, принадлежащие обеим плоскостям (например, точки пересечения прямых, задающих сечение, с плоскостью грани).
2. Находят точки пересечения этого следа с прямыми, содержащими стороны грани. Если эти точки лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами искомого сечения.
3. Соединяют уже известные точки сечения, лежащие в одной грани. Полученный отрезок является стороной сечения.
4. Продолжают прямую, содержащую эту сторону, до пересечения с другой прямой, лежащей в той же плоскости грани (например, с ранее построенным следом). Эта новая точка используется для построения следующего следа на смежной грани.
5. Повторяя эти шаги для других граней, находят все вершины и стороны многоугольника сечения.
Этот метод особенно эффективен, когда точки, задающие сечение, расположены так, что их нельзя сразу соединить, так как они лежат на разных гранях.
Ответ: Метод следов заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью одной из граней многогранника, нахождении вершин сечения как точек пересечения этого следа с ребрами данной грани и дальнейшем последовательном построении других следов и вершин.

6.1. Постройте сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $F$ и параллельной ребру $BD$ (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Решение

Для построения сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E$ и $F$ и параллельной ребру $BD$, выполним следующие шаги:

1. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $AB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат одной грани $ABC$. Следовательно, эти точки можно соединить отрезком. Отрезок $EF$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $ABC$.

2. Секущая плоскость (обозначим ее $\alpha$) по условию параллельна ребру $BD$. Точка $E$ также принадлежит секущей плоскости $\alpha$ и лежит в плоскости грани $ABD$ (которая содержит ребро $BD$). По теореме о следе, если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. В нашем случае, если плоскость ($\alpha$) проходит через точку ($E$) параллельно прямой ($BD$), то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью, содержащей эту точку и прямую (плоскость $ABD$), есть прямая, проходящая через точку $E$ параллельно прямой $BD$. Таким образом, в плоскости грани $ABD$ проводим прямую через точку $E$ параллельно ребру $BD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AD$ обозначим $G$. Отрезок $EG$ — это след секущей плоскости на грани $ABD$. По построению имеем $EG \parallel BD$.

3. Аналогично рассуждаем для грани $BCD$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $F$ (лежащую на ребре $BC$) и параллельна ребру $BD$. Обе, точка $F$ и ребро $BD$, лежат в плоскости грани $BCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $BCD$ должна проходить через точку $F$ и быть параллельной $BD$. Проводим в плоскости грани $BCD$ прямую через точку $F$ параллельно $BD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $CD$ обозначим $H$. Отрезок $FH$ — это след секущей плоскости на грани $BCD$. По построению имеем $FH \parallel BD$.

4. Соединяем полученные точки. Точки $G$ и $H$ лежат на ребрах $AD$ и $CD$ соответственно, а значит, принадлежат плоскости грани $ACD$. Соединяем их отрезком. Отрезок $GH$ является следом секущей плоскости на грани $ACD$.

В результате последовательного построения следов секущей плоскости на гранях тетраэдра мы получили замкнутый четырехугольник $EFHG$. Этот четырехугольник и является искомым сечением. Так как по построению $EG \parallel BD$ и $FH \parallel BD$, то отрезки $EG$ и $FH$ параллельны между собой. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, сечение $EFHG$ — трапеция.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник (трапеция) $EFHG$, где точка $G$ лежит на ребре $AD$ и $EG \parallel BD$, а точка $H$ лежит на ребре $CD$ и $FH \parallel BD$.

6.2. Постройте сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$ (рис. 6.9).

6.3. Рис. 6.9

Решение

Для построения сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$, выполним следующие шаги, используя метод следов.

1. Точки $E$ и $F$ лежат в одной плоскости грани $ABC$. Проводим отрезок $EF$, который является следом секущей плоскости на грани $ABC$.

2. Точки $E$ и $G$ лежат в одной плоскости грани $ABD$. Проводим отрезок $EG$, который является следом секущей плоскости на грани $ABD$.

3. Для нахождения линии пересечения секущей плоскости с гранью $BCD$, найдем точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью $(BCD)$. Прямые $EG$ и $BD$ лежат в одной плоскости $(ABD)$. Продлим их до пересечения в точке $H$.
$H = EG \cap BD$.
Точка $H$ принадлежит прямой $EG$, значит, она принадлежит секущей плоскости $(EFG)$.
Точка $H$ принадлежит прямой $BD$, значит, она принадлежит плоскости грани $(BCD)$.

4. Теперь у нас есть две точки, $F$ и $H$, которые одновременно принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани $BCD$. Следовательно, прямая $FH$ является линией их пересечения (следом секущей плоскости на плоскости $BCD$).

5. Проводим прямую $FH$. Точка, в которой эта прямая пересекает ребро $CD$, является четвертой вершиной сечения. Обозначим эту точку $K$.
$K = FH \cap CD$.
Соединяем точки $F$ и $K$. Отрезок $FK$ — это след секущей плоскости на грани $BCD$.

6. Точки $G$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ACD$ и принадлежат секущей плоскости. Соединяем их отрезком $GK$.

В результате последовательного соединения точек $E \rightarrow F \rightarrow K \rightarrow G \rightarrow E$ получаем искомое сечение — четырехугольник $EFKG$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $EFKG$, где точка $K$ — это точка пересечения ребра $CD$ с прямой, проведенной через точку $F$ и точку $H$ (точка $H$ является пересечением прямых $EG$ и $BD$).

6.3. Постройте сечение куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$, параллельной ребру $CC_{1}$ (рис. 6.10).

Рис. 6.10

Решение

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Обозначим заданные точки: $E$ — середина ребра $AB$, $F$ — середина ребра $BC$. Обе точки лежат в секущей плоскости, а также в плоскости нижнего основания куба $ABCD$. Следовательно, отрезок $EF$, соединяющий эти точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $ABCD$.

2. По условию, секущая плоскость параллельна ребру $CC_1$. В кубе все боковые ребра параллельны друг другу, то есть $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$. Таким образом, секущая плоскость параллельна всем боковым ребрам куба.

3. Секущая плоскость проходит через точку $E$, лежащую в плоскости грани $ABB_1A_1$. Так как секущая плоскость параллельна ребру $AA_1$ (поскольку $AA_1 \parallel CC_1$), то линия их пересечения будет проходить через точку $E$ параллельно ребру $AA_1$. Проведем отрезок $EE_1$ в грани $ABB_1A_1$ так, что $E_1$ лежит на ребре $A_1B_1$ и $EE_1 \parallel AA_1$. Поскольку $E$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса точка $E_1$ будет серединой ребра $A_1B_1$.

4. Аналогично, секущая плоскость проходит через точку $F$, лежащую в плоскости грани $BCC_1B_1$. Так как секущая плоскость параллельна ребру $BB_1$, то линия их пересечения будет проходить через точку $F$ параллельно ребру $BB_1$. Проведем отрезок $FF_1$ в грани $BCC_1B_1$ так, что $F_1$ лежит на ребре $B_1C_1$ и $FF_1 \parallel BB_1$. Поскольку $F$ — середина $BC$, то точка $F_1$ будет серединой ребра $B_1C_1$.

5. Точки $E_1$ и $F_1$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Соединим эти точки отрезком $E_1F_1$.

6. В результате последовательного построения мы получили замкнутый четырехугольник $EFF_1E_1$. Этот четырехугольник и является искомым сечением куба.

Теперь определим вид этого четырехугольника.

По построению $EE_1 \parallel AA_1$ и $FF_1 \parallel BB_1$. В кубе $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$. Следовательно, $EE_1 \parallel FF_1$ и $EE_1 = FF_1$. Четырехугольник $EFF_1E_1$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Докажем, что этот параллелограмм — прямоугольник. Ребро куба $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Так как $EE_1 \parallel AA_1$, то и отрезок $EE_1$ перпендикулярен плоскости $ABCD$. Отрезок $EF$ лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $E$. Следовательно, $EE_1 \perp EF$, и угол $\angle FEE_1 = 90^\circ$.

Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $EFF_1E_1$ — это прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — прямоугольник $EFF_1E_1$, вершины которого являются серединами ребер $AB, BC, B_1C_1, A_1B_1$.