Номер 6.7, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.7. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$ и $BC$ и вершину $D_1$ и (рис. 6.14).

Рис. 6.14

Решение

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$ и $BC$ (обозначим их $E$ и $F$ соответственно) и вершину $D_1$, выполним следующие шаги:

1. Соединение точек в одной грани. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости нижнего основания куба $(ABC)$. Следовательно, отрезок $EF$ принадлежит секущей плоскости и является одной из сторон искомого сечения. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABCD$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания. Для того чтобы найти точки пересечения секущей плоскости с другими ребрами куба, воспользуемся методом следов. Продлим прямую $EF$, лежащую в плоскости $(ABC)$, до пересечения с прямыми, содержащими другие ребра этой грани.
а) Продлим прямую $AD$. Прямые $EF$ и $AD$ не параллельны, поэтому они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $M$. Точка $M$ принадлежит как секущей плоскости (так как лежит на прямой $EF$), так и плоскости боковой грани $(ADD_1)$.
б) Аналогично продлим прямую $CD$. Прямые $EF$ и $CD$ также пересекаются. Обозначим точку их пересечения $N$. Точка $N$ принадлежит секущей плоскости и плоскости задней грани $(CDD_1)$.
Прямая $MN$ является следом секущей плоскости на плоскости нижнего основания $(ABC)$.

3. Построение сечения на грани $ADD_1A_1$. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости и плоскости грани $ADD_1A_1$: это вершина $D_1$ (по условию) и точка $M$ (по построению). Проведем через них прямую $MD_1$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Отрезок $KD_1$ является стороной сечения, лежащей на грани $ADD_1A_1$.

4. Построение сечения на грани $CDD_1C_1$. Аналогично, в плоскости грани $CDD_1C_1$ лежат две точки секущей плоскости: вершина $D_1$ и точка $N$. Проведем через них прямую $ND_1$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $LD_1$ является стороной сечения, лежащей на грани $CDD_1C_1$.

5. Завершение построения. Теперь у нас есть все вершины многоугольника сечения, лежащие на ребрах куба: $E, F, L, D_1, K$. Соединим последовательно точки, лежащие в одной грани:
- Точки $K$ и $E$ лежат на грани $ABB_1A_1$, соединяем их отрезком $KE$.
- Точки $F$ и $L$ лежат на грани $BCC_1B_1$, соединяем их отрезком $FL$.
Отрезки $EF, FL, LD_1, D_1K, KE$ образуют замкнутый многоугольник.

Таким образом, искомое сечение куба — это пятиугольник $EF_L_D_1K$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $EF_L_D_1K$, вершины которого лежат на ребрах куба: точка $E$ — середина ребра $AB$, точка $F$ — середина ребра $BC$, точка $K$ лежит на ребре $AA_1$, точка $L$ лежит на ребре $CC_1$, и $D_1$ — вершина куба.