Номер 6.14, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.14. Постройте сечение правильной четырех- угольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельной прямой $SB$ (рис. 6.21).

Рис. 6.21

Решение

Пусть E и F — середины рёбер AB и BC соответственно. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки E, F и параллельна прямой SB.

1. Точки E и F лежат в плоскости основания ABCD, поэтому отрезок EF является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью основания. В треугольнике ABC отрезок EF является средней линией, так как соединяет середины сторон AB и BC. По свойству средней линии, $EF \parallel AC$.

2. По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой SB. Прямая SB и точка E, принадлежащая плоскости $\alpha$, лежат в плоскости грани SAB. Согласно свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью SAB должна проходить через точку E и быть параллельной прямой SB. Проведём в плоскости SAB отрезок EK, где K лежит на ребре SA, так что $EK \parallel SB$. Поскольку E — середина AB, то по теореме Фалеса K является серединой SA.

3. Аналогично, прямая SB и точка F, принадлежащая плоскости $\alpha$, лежат в плоскости грани SBC. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью SBC должна проходить через точку F и быть параллельной прямой SB. Проведём в плоскости SBC отрезок FL, где L лежит на ребре SC, так что $FL \parallel SB$. Поскольку F — середина BC, то L является серединой SC.

4. Соединим точки K и L. Обе точки лежат в плоскости грани SAC, поэтому отрезок KL является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью SAC. В треугольнике SAC отрезок KL является средней линией, так как соединяет середины сторон SA и SC. Следовательно, $KL \parallel AC$.

5. Мы получили точки пересечения секущей плоскости с рёбрами пирамиды: E на AB, F на BC, L на SC и K на SA. Соединив эти точки последовательно, получаем четырёхугольник KEFL. Этот четырёхугольник и является искомым сечением.

Таким образом, для построения сечения необходимо выполнить следующие действия:

а) Отметить точки E и F — середины рёбер AB и BC.

б) Соединить точки E и F.

в) В грани SAB через точку E провести прямую, параллельную SB, до пересечения с ребром SA в точке K.

г) В грани SBC через точку F провести прямую, параллельную SB, до пересечения с ребром SC в точке L.

д) Соединить точки K и L.

Четырёхугольник KEFL — искомое сечение.

Ответ:

Искомое сечение — это четырёхугольник KEFL, где K, E, F, L — точки, построенные следующим образом: E — середина AB, F — середина BC, точка K лежит на ребре SA так, что $EK \parallel SB$, точка L лежит на ребре SC так, что $FL \parallel SB$. Этот четырёхугольник является параллелограммом, так как $EF \parallel KL$ (оба параллельны AC) и $EK \parallel FL$ (оба параллельны SB).