Номер 6.8, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.8. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $AD$ и $SC$ (рис. 6.15).

Рис. 6.15

Дано:

$SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида.
Точка $E$ — середина ребра $AB$.
Точка $F$ — середина ребра $AD$.
Точка $G$ — середина ребра $SC$.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $E, F, G$.

Найти:

Построить сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.

Решение:

Построение искомого сечения будем выполнять пошагово, находя точки пересечения секущей плоскости $\alpha$ с ребрами пирамиды.

1. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах основания пирамиды, следовательно, они принадлежат как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости основания $(ABC)$. Прямая $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания. Отрезок $EF$ — сторона искомого сечения. Поскольку $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $AD$ в треугольнике $ABD$, то $EF$ является его средней линией, а значит $EF \parallel BD$.

2. Для построения точек пересечения секущей плоскости с боковыми гранями используем метод следов. Прямая $EF$, лежащая в плоскости $\alpha$, является следом этой плоскости на плоскости основания $(ABC)$.

3. Найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром $SD$. Для этого рассмотрим грань $(SDC)$. Точка $G$ принадлежит этой грани. Найдем еще одну точку, принадлежащую одновременно и секущей плоскости $\alpha$, и плоскости грани $(SDC)$. Такая точка лежит на пересечении их следов на плоскости основания, то есть на пересечении прямых $EF$ и $CD$. Продлим отрезок $EF$ и ребро $CD$ до их пересечения в точке $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (т.к. $P \in EF$) и плоскости грани $(SDC)$ (т.к. $P \in CD$).

4. Теперь у нас есть две точки $G$ и $P$, лежащие и в секущей плоскости, и в плоскости грани $(SDC)$. Следовательно, прямая $GP$ является линией пересечения этих плоскостей. Эта прямая пересекает ребро $SD$ в некоторой точке $L$. Точка $L$ является вершиной искомого сечения. Отрезок $LG$ — сторона сечения.

5. Аналогично найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром $SB$. Рассмотрим грань $(SBC)$. Точка $G$ принадлежит этой грани. Найдем точку пересечения следа $EF$ с прямой $BC$. Продлим отрезок $EF$ и ребро $BC$ до их пересечения в точке $Q$. Точка $Q$ принадлежит секущей плоскости (т.к. $Q \in EF$) и плоскости грани $(SBC)$ (т.к. $Q \in BC$).

6. Прямая $GQ$ является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $(SBC)$. Эта прямая пересекает ребро $SB$ в некоторой точке $K$. Точка $K$ является вершиной искомого сечения. Отрезок $GK$ — сторона сечения.

7. Теперь у нас есть все вершины сечения. Соединим их последовательно:

- $E$ и $F$ лежат в плоскости основания $(ABC)$, соединяем их отрезком $EF$.

- $F$ и $L$ лежат в плоскости грани $(SAD)$, соединяем их отрезком $FL$.

- $L$ и $G$ лежат в плоскости грани $(SDC)$, соединяем их отрезком $LG$.

- $G$ и $K$ лежат в плоскости грани $(SBC)$, соединяем их отрезком $GK$.

- $K$ и $E$ лежат в плоскости грани $(SAB)$, соединяем их отрезком $KE$.

В результате построен пятиугольник $EFLGK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $EFLGK$, где $K$ — точка на ребре $SB$, а $L$ — точка на ребре $SD$, построенные указанным методом.