Номер 6.4, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.4. Постройте сечение куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершины A, C и середину E ребра $C_1 D_1$ (рис. 6.11).

Рис. 6.11

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $E$ - середина ребра $C_1D_1$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $A, C, E$.

Найти:

Построить сечение куба плоскостью $\alpha$.

Решение:

Построение сечения выполняется пошагово на основе аксиом и теорем стереометрии.

1. Точки $A$ и $C$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости нижнего основания куба ($ABCD$). Следовательно, прямая $AC$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Строим отрезок $AC$, который является частью сечения.

2. Плоскости верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1$) и нижнего основания ($ABCD$) куба параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Это означает, что линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания должна быть параллельна прямой $AC$.

3. Точка $E$ принадлежит секущей плоскости и лежит в плоскости верхнего основания. Согласно пункту 2, проведем в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ через точку $E$ прямую, параллельную диагонали $A_1C_1$ (и, соответственно, параллельную $AC$). Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $F$. Отрезок $EF$ — это след секущей плоскости на верхней грани куба.

4. Рассмотрим плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. В треугольнике $\triangle A_1C_1D_1$ отрезок $EF$ параллелен стороне $A_1C_1$. Так как точка $E$ является серединой стороны $C_1D_1$, то по теореме Фалеса (или по свойствам средней линии треугольника) точка $F$ будет являться серединой стороны $A_1D_1$.

5. Теперь у нас есть четыре точки, принадлежащие сечению: $A$, $C$, $E$, $F$. Соединим последовательно те точки, которые лежат в одной грани куба.Точки $C$ и $E$ лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$, поэтому строим отрезок $CE$.Точки $F$ и $A$ лежат в плоскости левой боковой грани $ADD_1A_1$, поэтому строим отрезок $FA$.

6. В результате построений мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник $ACEF$. Его вершины лежат на ребрах куба, а стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями куба. Следовательно, четырехугольник $ACEF$ является искомым сечением.

По построению прямая $EF$ параллельна прямой $AC$, значит, четырехугольник $ACEF$ является трапецией. Можно также показать, что длины боковых сторон $AF$ и $CE$ равны, поэтому данное сечение является равнобедренной трапецией.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник (равнобедренная трапеция) $ACEF$, где точка $F$ является серединой ребра $A_1D_1$.