Номер 5.23, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.23. Сколько имеется путей длиной 5 см по ребрам единичного додекаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Дано:

Геометрическое тело: единичный додекаэдр.

Длина ребра: $l=1$ условная единица.

Длина пути: $L=5$ условных единиц (в задаче указано 5 см, что соответствует 5 рёбрам единичного додекаэдра).

Начальная точка: одна из вершин додекаэдра ($V_{старт}$).

Конечная точка: противоположная вершина ($V_{финиш}$).

Найти:

Количество $N$ различных путей длиной 5 рёбер от $V_{старт}$ до $V_{финиш}$.

Решение:

Представим додекаэдр как граф, где вершины — это вершины многогранника, а рёбра — его рёбра. Задача состоит в том, чтобы найти количество путей определённой длины между двумя заданными вершинами в этом графе.

Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 рёбер. Каждая вершина соединена с тремя другими, то есть степень каждой вершины равна 3. Грани додекаэдра — правильные пятиугольники, поэтому кратчайший цикл в графе имеет длину 5.

Выберем любую вершину за стартовую, $V_{старт}$. Распределим все вершины графа по множествам $S_k$ в зависимости от их расстояния $k$ (длины кратчайшего пути в рёбрах) от $V_{старт}$:

• $S_0$: множество из 1 вершины ($V_{старт}$).
• $S_1$: множество из 3 вершин, смежных с $V_{старт}$.
• $S_2$: множество из 6 вершин, находящихся на расстоянии 2 от $V_{старт}$.
• $S_3$: множество из 6 вершин, находящихся на расстоянии 3 от $V_{старт}$.
• $S_4$: множество из 3 вершин, находящихся на расстоянии 4 от $V_{старт}$.
• $S_5$: множество из 1 вершины, находящейся на расстоянии 5 от $V_{старт}$.

Сумма вершин: $1+3+6+6+3+1=20$, что соответствует общему числу вершин додекаэдра. Противоположная вершина $V_{финиш}$ является единственной вершиной в множестве $S_5$. Таким образом, кратчайшее расстояние от $V_{старт}$ до $V_{финиш}$ составляет 5 рёбер.

Так как длина искомых путей равна 5, а кратчайшее расстояние между начальной и конечной вершинами также равно 5, то любой такой путь является кратчайшим. Это означает, что путь должен последовательно проходить через вершины из множеств $S_0, S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$, не возвращаясь назад и не проходя по рёбрам внутри одного множества (кроме случаев, когда это является частью кратчайшего пути, что здесь не так для переходов $S_k \to S_{k+1}$).

Подсчитаем количество вариантов на каждом шаге построения пути из 5 рёбер:

1. Шаг из $S_0$ в $S_1$: Из вершины $V_{старт}$ ($S_0$) выходит 3 ребра. Все они ведут к вершинам из $S_1$. Таким образом, есть 3 способа сделать первый шаг.

2. Шаг из $S_1$ в $S_2$: Каждая вершина из $S_1$ соединена одним ребром с $V_{старт}$ (путь "назад"). Поскольку в графе нет циклов длиной 3 или 4, два других ребра должны вести к новым вершинам, которые по определению находятся на расстоянии 2 от $V_{старт}$, то есть в $S_2$. Следовательно, из любой вершины в $S_1$ есть 2 пути "вперёд" в $S_2$.

3. Шаг из $S_2$ в $S_3$: Каждая вершина $v_2 \in S_2$ имеет одного соседа в $S_1$. Можно показать, что из-за пятиугольной структуры граней, $v_2$ также имеет одного соседа в $S_2$. Третий сосед, следовательно, должен находиться в $S_3$. Таким образом, из каждой вершины в $S_2$ есть ровно 1 путь "вперёд" в $S_3$.

4. Шаг из $S_3$ в $S_4$: По соображениям симметрии (рассматривая пути от $V_{финиш}$), из каждой вершины в $S_3$ есть ровно 1 путь "вперёд" в $S_4$.

5. Шаг из $S_4$ в $S_5$: Каждая вершина из $S_4$ смежна с $V_{финиш}$ ($S_5$), поэтому из любой вершины в $S_4$ есть ровно 1 путь к конечной цели.

Чтобы найти общее количество путей, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге:

$N = (\text{число путей из } S_0) \times (\text{число путей из } S_1) \times (\text{число путей из } S_2) \times (\text{число путей из } S_3) \times (\text{число путей из } S_4)$

$N = 3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 6$

Таким образом, существует 6 различных путей длиной 5 рёбер от одной вершины додекаэдра до противоположной.

Ответ: 6.