Номер 5.20, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.20. На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке Б.3. Отметьте центры граней икосаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

Решение

На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке Б.3. Отметьте центры граней икосаэдра.

Для того чтобы изобразить икосаэдр на плоскости, можно использовать его проекцию. Предлагается следующий алгоритм построения:

1. Нарисуйте точку, которая будет служить верхней вершиной («северным полюсом») икосаэдра.

2. Ниже этой точки начертите правильный пятиугольник. Соедините отрезками каждую вершину этого пятиугольника с верхней точкой. В результате получится «шапка» из пяти треугольных граней.

3. Начертите второй правильный пятиугольник, большего размера, чем первый, и расположите его ниже. Второй пятиугольник должен быть повернут относительно первого на $36^\circ$ так, чтобы его вершины находились между проекциями вершин первого. Соедините каждую вершину первого (верхнего) пятиугольника с двумя ближайшими вершинами второго (нижнего) пятиугольника. Это образует «пояс» из десяти треугольных граней.

4. Нарисуйте последнюю, нижнюю вершину («южный полюс») под центром всей конструкции. Соедините вершины второго (большого) пятиугольника с этой нижней точкой, чтобы сформировать оставшиеся пять треугольных граней.

5. Рёбра, которые в данной проекции являются невидимыми (находятся на задней стороне многогранника), следует изображать пунктирными линиями.

После завершения рисунка икосаэдра необходимо отметить центры каждой из его 20 треугольных граней. Центр треугольника (центроид) находится в точке пересечения его медиан.

Ответ: Изображение икосаэдра с отмеченными центрами граней построено согласно описанному алгоритму.

Вершинами какого многогранника они являются?

Многогранник, вершины которого являются центрами граней другого многогранника, называется двойственным (или дуальным) к исходному. Чтобы определить, какой многогранник образуют центры граней икосаэдра, проанализируем его свойства и концепцию двойственности.

Икосаэдр — это правильный многогранник (платоново тело), который имеет следующие характеристики:

• Количество граней ($Г$): $20$ (все грани — правильные треугольники)
• Количество вершин ($В$): $12$ (в каждой вершине сходится 5 рёбер)
• Количество рёбер ($Р$): $30$

При построении двойственного многогранника количество его вершин ($В'$) равно количеству граней исходного ($Г$), а количество граней ($Г'$) равно количеству вершин исходного ($В$). Количество рёбер ($Р'$) у двойственного многогранника такое же, как и у исходного ($Р$).

$В' = Г = 20$

$Г' = В = 12$

$Р' = Р = 30$

Следовательно, искомый многогранник должен иметь $20$ вершин, $12$ граней и $30$ рёбер. Этими свойствами обладает додекаэдр.

Дополнительным подтверждением служит форма граней двойственного многогранника. Поскольку в каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней, грани двойственного многогранника, которые формируются вокруг этих вершин, будут пятиугольниками. Правильный многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников, — это и есть додекаэдр.

Ответ: Центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра.