Номер 5.14, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

ребра исходного тетраэдра равны 1.

5.14. От каждой вершины тетраэдра с ребром 2 см отсекается тетраэдр с ребром 1 см. Какой многогранник останется? Найдите его ребро.

Дано:

Исходный многогранник - правильный тетраэдр.
Длина ребра исходного тетраэдра $a_{исх} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Отсекаемый многогранник - правильный тетраэдр.
Длина ребра отсекаемого тетраэдра $a_{отс} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

1. Какой многогранник останется?
2. Длину ребра оставшегося многогранника ($a_{ост}$).

Решение:

Исходный многогранник — это правильный тетраэдр, у которого 4 вершины, 6 ребер одинаковой длины и 4 грани в форме равносторонних треугольников.

Согласно условию, от каждой из 4 вершин отсекается малый тетраэдр с ребром 1 см. Рассмотрим процесс отсечения у одной из вершин исходного тетраэдра. Из этой вершины выходят три ребра длиной по 2 см. Отсечение тетраэдра с ребром 1 см означает, что срез производится плоскостью, которая пересекает эти три ребра на расстоянии 1 см от вершины.

Поскольку длина каждого ребра исходного тетраэдра составляет 2 см, точка среза на каждом ребре находится ровно посередине этого ребра ($1 \text{ см} = 2 \text{ см} / 2$).

Таким образом, отсечение малых тетраэдров от всех четырех вершин приводит к тому, что от исходного тетраэдра остаются только его центральная часть. Вершинами нового, оставшегося многогранника, будут являться середины всех 6 ребер исходного тетраэдра.

Многогранник, вершинами которого служат середины ребер правильного тетраэдра, является правильным октаэдром. Октаэдр — это многогранник с 8 гранями, 12 ребрами и 6 вершинами. Каждая грань правильного октаэдра — это равносторонний треугольник.

Теперь определим длину ребра получившегося октаэдра. Ребра этого октаэдра соединяют середины смежных ребер исходного тетраэдра. Рассмотрим любую грань исходного тетраэдра. Эта грань — равносторонний треугольник со стороной $a_{исх} = 2$ см. Ребра октаэдра, которые лежат в плоскости этой грани, соединяют середины ее сторон. Следовательно, каждое такое ребро является средней линией этого треугольника.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Значит, длина ребра оставшегося многогранника (октаэдра) вычисляется как: $a_{ост} = \frac{a_{исх}}{2}$ $a_{ост} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Все ребра получившегося октаэдра будут иметь такую длину.

Ответ: Оставшийся многогранник — правильный октаэдр, длина его ребра равна 1 см.