Номер 5.16, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.16. Сколько имеется путей длиной 2 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Дано:

Геометрическое тело: единичный октаэдр.

Длина ребра октаэдра: $a = 1$ см.

Длина пути по ребрам: $L = 2$ см.

Начало пути: некоторая вершина $A$.

Конец пути: вершина $B$, противоположная вершине $A$.

Найти:

Количество $N$ таких путей.

Решение:

Единичный октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 6 вершин, 12 ребер и 8 граней (правильных треугольников). В единичном октаэдре все ребра имеют одинаковую длину. Согласно условию, речь идет о "единичном" октаэдре и путях длиной 2 см, что позволяет заключить, что длина каждого ребра составляет 1 см.

Путь длиной 2 см по ребрам октаэдра должен состоять ровно из двух последовательных ребер. Такой путь можно представить в виде последовательности трех вершин: $A \rightarrow M \rightarrow B$, где $A$ — начальная вершина, $B$ — конечная вершина, а $M$ — промежуточная вершина.

По условию задачи, начальная вершина $A$ и конечная вершина $B$ должны быть противоположными. В октаэдре для каждой вершины существует ровно одна противоположная ей вершина. Противоположные вершины не соединены ребром и являются наиболее удаленными друг от друга.

Для того чтобы существовал путь $A \rightarrow M \rightarrow B$, промежуточная вершина $M$ должна быть соединена ребром как с начальной вершиной $A$, так и с конечной вершиной $B$. Иными словами, вершина $M$ должна быть общим соседом для вершин $A$ и $B$.

Рассмотрим строение октаэдра. Его можно представить как две правильные четырехгранные пирамиды, соединенные своими квадратными основаниями. У октаэдра 6 вершин. Выберем произвольную вершину в качестве "верхней" и обозначим ее $T$. Противоположная ей вершина будет "нижней", обозначим ее $B_{bottom}$. Остальные четыре вершины лежат в одной плоскости между $T$ и $B_{bottom}$ и образуют квадрат. Назовем их "экваториальными" вершинами: $E_1, E_2, E_3, E_4$.

Каждая вершина в октаэдре соединена ребрами с четырьмя другими вершинами (то есть степень каждой вершины равна 4). "Верхняя" вершина $T$ соединена со всеми четырьмя экваториальными вершинами $\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$. Аналогично, "нижняя" вершина $B_{bottom}$ также соединена со всеми четырьмя экваториальными вершинами.

Пусть наш путь начинается в вершине $A=T$ и заканчивается в противоположной ей вершине $B=B_{bottom}$. Промежуточная вершина $M$ должна быть соседней и для $T$, и для $B_{bottom}$.

Множество вершин, соседних с $T$, это $\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$.

Множество вершин, соседних с $B_{bottom}$, это также $\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$.

Общими соседями для $T$ и $B_{bottom}$ являются все четыре экваториальные вершины. Следовательно, любая из них может служить промежуточной вершиной $M$ на пути из $T$ в $B_{bottom}$.

Таким образом, существует ровно 4 различных пути длиной в два ребра из вершины $T$ в вершину $B_{bottom}$:

1. $T \rightarrow E_1 \rightarrow B_{bottom}$

2. $T \rightarrow E_2 \rightarrow B_{bottom}$

3. $T \rightarrow E_3 \rightarrow B_{bottom}$

4. $T \rightarrow E_4 \rightarrow B_{bottom}$

Так как октаэдр является симметричной фигурой, этот результат не зависит от выбора начальной пары противоположных вершин. Для любой пары противоположных вершин количество таких путей будет одинаковым.

Ответ: 4.