Номер 5.17, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.17. Сколько имеется путей длиной 3 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противолежащую вершину?

Дано:

Геометрическая фигура: правильный октаэдр.
Тип октаэдра: единичный, что означает, что длина каждого ребра равна 1. В данном случае, $l = 1$ см.
Длина искомого пути: $L = 3$ см.
Начало пути: одна из вершин октаэдра.
Конец пути: вершина, противоположная начальной.

Найти:

Количество $N$ различных путей указанной длины между заданными вершинами.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, имеющий 6 вершин, 12 ребер и 8 граней (в виде равносторонних треугольников). Каждая вершина соединена ребрами с четырьмя другими вершинами.

Поскольку октаэдр единичный, длина каждого ребра составляет 1 см. Путь длиной 3 см будет состоять ровно из 3 последовательно пройденных ребер.

Обозначим начальную вершину как $A$, а противоположную ей (конечную) вершину — как $F$. Оставшиеся четыре вершины лежат в одной плоскости между $A$ и $F$ и образуют квадрат. Назовем их "средними" вершинами: $V_1, V_2, V_3, V_4$.

Структура связей в октаэдре такова:

• Вершина $A$ соединена ребрами со всеми четырьмя средними вершинами ($V_1, V_2, V_3, V_4$).
• Вершина $F$ также соединена ребрами со всеми четырьмя средними вершинами.
• Каждая средняя вершина соединена с $A$, с $F$ и с двумя другими средними вершинами.

Нам нужно найти количество путей вида $A \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow F$, где $A, X, Y, F$ — вершины октаэдра, а стрелки обозначают движение по ребру.

Разобьем задачу на три шага:

Шаг 1: Первый ход из вершины $A$ в вершину $X$.
Из начальной вершины $A$ можно переместиться только в одну из четырех средних вершин ($V_1, V_2, V_3, V_4$), так как $A$ не соединена с $F$ напрямую.
Количество вариантов для первого шага: 4.

Шаг 2: Второй ход из вершины $X$ в вершину $Y$.
Предположим, на первом шаге мы попали в одну из средних вершин, например, в $V_1$. Теперь нужно выбрать следующую вершину $Y$.

• Вершина $Y$ не может быть $A$, так как путь $A \rightarrow V_1 \rightarrow A$ имеет длину 2, и из $A$ невозможно попасть в $F$ за один шаг.
• Вершина $Y$ не может быть $F$, так как путь $A \rightarrow V_1 \rightarrow F$ имеет длину 2, а нам нужен путь длиной 3.

Шаг 3: Третий ход из вершины $Y$ в вершину $F$.
На этом шаге мы находимся в некоторой средней вершине $Y$. Все четыре средние вершины соединены с конечной вершиной $F$. Поэтому из любой средней вершины, в которую мы попали на втором шаге, существует ребро, ведущее в $F$.
Количество вариантов для третьего шага: 1.

Чтобы найти общее количество путей, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге: $N = (\text{варианты шага 1}) \times (\text{варианты шага 2}) \times (\text{варианты шага 3})$ $N = 4 \times 2 \times 1 = 8$

Таким образом, существует 8 различных путей длиной 3 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную.

Ответ: 8.