Страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, выполняется ли равенство Эйлера для:
а) невыпуклой призмы,
б) невыпуклой пирамиды?

Равенство Эйлера, также известное как формула Эйлера для многогранников, связывает число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) простого многогранника. Простой многогранник — это многогранник, гомеоморфный сфере, то есть не имеющий сквозных отверстий. Формула имеет вид: $В - Р + Г = 2$.

Важно отметить, что выпуклость многогранника является достаточным, но не необходимым условием для выполнения этого равенства. Невыпуклые многогранники, если они не имеют топологических "дыр" (являются простыми), также подчиняются этой формуле. Проверим это для указанных фигур.

а) невыпуклой призмы

Невыпуклая призма — это призма, в основании которой лежит невыпуклый многоугольник. Пусть в основании n-угольной невыпуклой призмы лежит простой невыпуклый n-угольник (то есть многоугольник без самопересечений). Подсчитаем количество её элементов.

Число вершин (В) складывается из $n$ вершин на нижнем основании и $n$ вершин на верхнем. Всего $В = 2n$.

Число граней (Г) состоит из 2 оснований (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней. Всего $Г = n + 2$.

Число рёбер (Р) включает $n$ рёбер на нижнем основании, $n$ рёбер на верхнем и $n$ боковых рёбер, соединяющих основания. Всего $Р = 3n$.

Теперь подставим эти значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = 2n - 3n + (n + 2) = -n + n + 2 = 2$

Равенство выполняется. Это означает, что для любой простой невыпуклой призмы формула Эйлера верна.

Ответ: да, равенство Эйлера для невыпуклой призмы выполняется.

б) невыпуклой пирамиды

Невыпуклая пирамида — это пирамида, в основании которой лежит невыпуклый многоугольник. Аналогично призме, рассмотрим пирамиду, в основании которой лежит простой невыпуклый n-угольник.

Подсчитаем количество её элементов.

Число вершин (В) складывается из $n$ вершин в основании и 1 вершины (апекса). Всего $В = n + 1$.

Число граней (Г) состоит из 1 основания и $n$ треугольных боковых граней. Всего $Г = n + 1$.

Число рёбер (Р) включает $n$ рёбер в основании и $n$ боковых рёбер, идущих от вершин основания к апексу. Всего $Р = 2n$.

Подставим эти значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = (n + 1) - 2n + (n + 1) = n + 1 - 2n + n + 1 = 2$

Равенство также выполняется. Следовательно, для любой простой невыпуклой пирамиды формула Эйлера верна.

Ответ: да, равенство Эйлера для невыпуклой пирамиды выполняется.