Страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Чему равно число вершин, ребер и граней: а) $n$-угольной призмы; б) $n$-угольной пирамиды?

2. Сформулируйте теорему Эйлера.

3. Когда она была доказана?

4. Что изучает топология?

Чему равно число вершин, ребер и граней: а) n-угольной призмы; б) n-угольной пирамиды?

а) n-угольная призма

Дано:

n-угольная призма, где $n$ — число углов (и сторон) многоугольника в основании ($n \ge 3$).

Найти:

Число вершин (В), число рёбер (Р), число граней (Г).

Решение:

У n-угольной призмы есть два основания, каждое из которых является n-угольником, и $n$ боковых граней, которые являются параллелограммами (в случае прямой призмы — прямоугольниками).

Число вершин (В): Каждое из двух оснований имеет $n$ вершин. Следовательно, общее число вершин равно $В = n + n = 2n$.

Число рёбер (Р): Каждое основание имеет $n$ рёбер. Кроме того, есть $n$ боковых рёбер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Таким образом, общее число рёбер равно $Р = n + n + n = 3n$.

Число граней (Г): Призма имеет два основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней. Следовательно, общее число граней равно $Г = n + 2$.

Ответ: Для n-угольной призмы число вершин $В = 2n$, число рёбер $Р = 3n$, число граней $Г = n + 2$.

б) n-угольная пирамида

Дано:

n-угольная пирамида, где $n$ — число углов (и сторон) многоугольника в основании ($n \ge 3$).

Найти:

Число вершин (В), число рёбер (Р), число граней (Г).

Решение:

У n-угольной пирамиды есть одно основание (n-угольник), одна вершина (апекс), не лежащая в плоскости основания, и $n$ боковых граней (треугольников).

Число вершин (В): Основание имеет $n$ вершин, и есть ещё одна вершина — апекс пирамиды. Таким образом, общее число вершин равно $В = n + 1$.

Число рёбер (Р): Основание имеет $n$ рёбер. Кроме того, есть $n$ боковых рёбер, соединяющих вершины основания с апексом. Следовательно, общее число рёбер равно $Р = n + n = 2n$.

Число граней (Г): Пирамида имеет одно основание и $n$ боковых треугольных граней. Таким образом, общее число граней равно $Г = n + 1$.

Ответ: Для n-угольной пирамиды число вершин $В = n + 1$, число рёбер $Р = 2n$, число граней $Г = n + 1$.

2. Сформулируйте теорему Эйлера.

Теорема Эйлера для многогранников (также известная как формула Эйлера для многогранников) утверждает, что для любого выпуклого многогранника сумма числа его вершин (В) и числа граней (Г) равна числу его рёбер (Р) плюс два. Эта зависимость выражается формулой:

$В - Р + Г = 2$

Эта формула верна для всех многогранников, гомеоморфных (топологически эквивалентных) сфере.

Ответ: Для любого выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум: $В - Р + Г = 2$.

3. Когда она была доказана?

Теорема была сформулирована и опубликована Леонардом Эйлером в 1752 году в его работе «Elementa doctrinae solidorum», хотя он упоминал о ней еще в письме к Христиану Гольдбаху в 1750 году. Однако первое строгое доказательство этой теоремы было представлено французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1811 году. Доказательство самого Эйлера содержало некоторые неточности и было неполным по современным стандартам.

Ответ: Теорема была сформулирована Леонардом Эйлером в 1750-1752 годах, а первое строгое доказательство было дано Огюстеном Луи Коши в 1811 году.

4. Что изучает топология?

Топология — это раздел математики, изучающий такие свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях (растяжениях, сжатиях, изгибах), но без разрывов и склеиваний. Такие свойства называют топологическими инвариантами. В отличие от геометрии, в топологии не важны метрические свойства объектов, такие как длина, угол или кривизна. Классическим примером является утверждение, что с точки зрения топологии кофейная кружка и бублик (тор) — это один и тот же объект, так как один можно плавно преобразовать в другой. Топология занимается изучением понятий связности, компактности, непрерывности и размерности.

Ответ: Топология изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных деформациях (растяжениях, сжатиях) без разрывов и склеиваний.

4.1. У выпуклого многогранника 6 вершин и 12 ребер. Сколько у него граней?

Дано:

Количество вершин выпуклого многогранника (В) = 6

Количество ребер выпуклого многогранника (Р) = 12

Найти:

Количество граней (Г) — ?

Решение:

Для определения количества граней выпуклого многогранника воспользуемся формулой Эйлера для многогранников. Эта формула связывает число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) любого выпуклого многогранника.

Формула Эйлера имеет вид:

$В - Р + Г = 2$

Подставим в эту формулу известные нам значения количества вершин и ребер:

$6 - 12 + Г = 2$

Упростим левую часть уравнения:

$-6 + Г = 2$

Теперь найдем количество граней Г, перенеся -6 в правую часть уравнения с изменением знака:

$Г = 2 + 6$

$Г = 8$

Следовательно, у данного многогранника 8 граней. Примером такого многогранника является октаэдр.

Ответ: 8 граней.

Гранен.

4.2. У выпуклого многогранника 8 вершин и 6 граней. Сколько у него ребер?

Дано:

Число вершин выпуклого многогранника $В = 8$
Число граней выпуклого многогранника $Г = 6$

Найти:

Число ребер выпуклого многогранника $Р$

Решение:

Для определения количества ребер выпуклого многогранника используется теорема Эйлера о соотношении числа вершин, ребер и граней. Формула Эйлера для многогранников имеет следующий вид:

$В - Р + Г = 2$

где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, а $Г$ — число граней.

Подставим известные значения в формулу:

$8 - Р + 6 = 2$

Сложим числа в левой части уравнения:

$14 - Р = 2$

Теперь выразим $Р$ из полученного уравнения. Для этого перенесем $Р$ в правую часть, а 2 — в левую:

$14 - 2 = Р$

$Р = 12$

Следовательно, у данного многогранника 12 ребер. Примером такого многогранника является куб.

Ответ: 12.

4.3. У выпуклого многогранника 9 ребер и 5 граней. Сколько у него вершин?

Дано:
Количество рёбер $Р = 9$
Количество граней $Г = 5$

Найти:
Количество вершин $В$

Решение:
Для нахождения числа вершин выпуклого многогранника воспользуемся теоремой Эйлера. Она связывает число вершин ($В$), рёбер ($Р$) и граней ($Г$) любого выпуклого многогранника следующим соотношением:
$В - Р + Г = 2$
Чтобы найти количество вершин $В$, выразим эту переменную из формулы Эйлера:
$В = 2 - Г + Р$
Подставим известные из условия задачи значения в полученное выражение:
$В = 2 - 5 + 9$
$В = 6$
Следовательно, у данного многогранника 6 вершин. Примером такого многогранника может служить треугольная призма, у которой 2 треугольных основания и 3 прямоугольные боковые грани (всего 5 граней), 9 рёбер и 6 вершин.
Ответ: 6.

4.4. В модели треугольной призмы, сделанной из эластичного материала, вырезали одно основание, и оставшиеся грани растянули на плоскости. Сделайте рисунок получившейся сетки.

В условии описана треугольная призма, у которой удалили одно из двух оснований. Изначально призма состоит из двух одинаковых треугольных оснований и трех боковых граней, которые обычно являются прямоугольниками. После удаления одного основания у нас остается фигура, состоящая из одного треугольного основания и трех боковых граней, примыкающих к его сторонам.

Чтобы получить сетку (развертку) этой фигуры на плоскости, нужно мысленно "развернуть" боковые грани так, чтобы они легли в одну плоскость с основанием. Представим, что мы кладем оставшееся треугольное основание на стол. Затем три "стенки" (прямоугольные грани) опускаем наружу, пока они не лягут на стол.

В результате мы получим плоскую фигуру, которая состоит из центрального треугольника (основание призмы), и трех прямоугольников (боковые грани), каждый из которых прикреплен к одной из сторон треугольника. Длина примыкающей стороны каждого прямоугольника равна длине соответствующей стороны треугольника, а другая сторона прямоугольника равна высоте призмы.

Ниже представлен рисунок такой сетки для случая, когда основанием является равносторонний треугольник.

Стоит отметить, что существует и другой способ получить сетку: разрезать призму вдоль одного из боковых ребер и развернуть три прямоугольные грани в одну длинную полосу. Тогда треугольное основание будет примыкать сбоку к одному из прямоугольников в этой полосе. Оба варианта развертки являются верными.

Ответ: Сетка представляет собой фигуру, состоящую из одного треугольника, к каждой из трех сторон которого примыкает по одному прямоугольнику.

4.5. В модели четырехугольной пирамиды, сделанной из эластичного материала, вырезали основание, и оставшиеся грани растянули на плоскости. Сделайте рисунок получившейся сетки.

Решение

Исходная фигура — четырехугольная пирамида. Она состоит из основания в виде четырехугольника и четырех боковых граней в виде треугольников, которые соединяются в одной общей точке — вершине пирамиды.

По условию, у этой модели вырезают основание. В результате остается только боковая поверхность, которая представляет собой четыре треугольные грани, соединенные друг с другом по боковым ребрам и сходящиеся в вершине.

Ключевым свойством модели является то, что она сделана из эластичного материала. Это означает, что для того, чтобы развернуть ее на плоскости, не требуется делать разрезы вдоль боковых ребер. Четыре треугольные грани можно растянуть, сохраняя их соединение в вершине и по ребрам.

При растягивании такой конструкции на плоскости произойдет следующее:

1. Вершина пирамиды станет центральной точкой плоской фигуры.

2. Четыре боковых ребра, выходящие из вершины, превратятся в четыре отрезка, расходящиеся из этого центра (то есть, в радиусы).

3. Периметр основания пирамиды, который представлял собой замкнутый четырехугольник, при равномерном растяжении от центра примет форму окружности.

В итоге четыре эластичные треугольные грани займут пространство четырех секторов круга. Таким образом, вся боковая поверхность пирамиды после растягивания на плоскости будет иметь вид круга, разделенного на четыре сектора.

Ответ:

Получившаяся сетка будет представлять собой круг, разделенный четырьмя радиусами на четыре сектора. Центр круга соответствует вершине пирамиды, радиусы — ее боковым ребрам, а секторы — ее растянутым боковым граням.

4.6. Для сеток, изображенных на рисунке 4.4, укажите соответствующий многогранник.

а)

б)

Рис. 4.4

а) На изображении представлена проекция (вид сверху) многогранника. Мы видим два шестиугольных основания (внешний и внутренний контуры) и боковые ребра, которые соединяют их соответствующие вершины. Такой многогранник, у которого два основания — равные шестиугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы, является шестиугольной призмой.
Ответ: шестиугольная призма.

б) На этом изображении показана проекция многогранника, имеющего одно основание в виде пятиугольника. Все вершины этого пятиугольника соединены ребрами с одной общей точкой — вершиной многогранника. Боковые грани, соответственно, являются треугольниками. Многогранник с полигональным основанием и треугольными гранями, сходящимися в одной вершине, называется пирамидой. Поскольку в основании лежит пятиугольник, это пятиугольная пирамида.
Ответ: пятиугольная пирамида.