Вопрос?, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Приведите пример многогранного угла, у которого сумма плоских углов больше $360^\circ$.

Теорема 2. Сумма двугранных углов многогранного угла больше

Известная теорема о том, что сумма плоских углов многогранного угла меньше $360^\circ$, справедлива только для выпуклых многогранных углов. Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо рассмотреть невыпуклый (или впалый) многогранный угол.

Решение

Рассмотрим трехгранный угол, который образован тремя плоскостями $\Pi_1$, $\Pi_2$ и $\Pi_3$, пересекающимися в одной точке $V$ (вершине угла).

1. Пусть две плоскости, $\Pi_1$ и $\Pi_2$, пересекаются по прямой $l$.

2. Проведем третью плоскость, $\Pi_3$, перпендикулярно прямой $l$. Точка пересечения $V$ плоскости $\Pi_3$ с прямой $l$ будет вершиной нашего трехгранного угла.

3. Ребрами этого трехгранного угла будут служить линии пересечения плоскостей: прямая $l = \Pi_1 \cap \Pi_2$, прямая $m = \Pi_1 \cap \Pi_3$ и прямая $n = \Pi_2 \cap \Pi_3$.

4. Найдем величины плоских углов этого трехгранного угла при вершине $V$:

- Первый плоский угол лежит в плоскости $\Pi_3$ и образован ребрами $m$ и $n$. Его величина по определению равна величине двугранного угла между плоскостями $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

- Второй плоский угол лежит в плоскости $\Pi_1$ и образован ребрами $l$ и $m$. Так как плоскость $\Pi_3$ перпендикулярна прямой $l$, то и любая прямая в этой плоскости, проходящая через точку $V$, будет перпендикулярна $l$. Следовательно, ребро $m$ перпендикулярно ребру $l$, и этот плоский угол равен $90^\circ$.

- Третий плоский угол лежит в плоскости $\Pi_2$ и образован ребрами $l$ и $n$. Аналогично предыдущему пункту, этот угол также равен $90^\circ$.

5. Сумма плоских углов $S$ нашего трехгранного угла равна $S = \alpha + 90^\circ + 90^\circ = \alpha + 180^\circ$.

6. Чтобы сумма $S$ была больше $360^\circ$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $\alpha + 180^\circ > 360^\circ$, что означает $\alpha > 180^\circ$.

7. Выберем значение для двугранного угла $\alpha$, большее $180^\circ$. Например, пусть $\alpha = 270^\circ$. Такой угол является невыпуклым (впалым).

8. Тогда сумма плоских углов будет равна: $S = 270^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 450^\circ$.

Поскольку $450^\circ > 360^\circ$, данный трехгранный угол является искомым примером.

Наглядно такой угол можно представить как внутренний угол в углу комнаты, если смотреть изнутри стены, или как угол при основании переплета книги, раскрытой более чем на $180^\circ$ и стоящей на столе.

Ответ: Примером многогранного угла, у которого сумма плоских углов больше $360^\circ$, является невыпуклый трехгранный угол, у которого один плоский угол равен $270^\circ$, а два других — по $90^\circ$. Сумма его плоских углов составляет $270^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 450^\circ$.