Номер 2.20, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.20. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильной пирамиды SABC (рис. 2.15), соединяющего середины ребер AB и SC.

Рис. 2.15

Для нахождения кратчайшего пути по поверхности многогранника необходимо использовать его развертку. Кратчайшим путем между двумя точками на развертке будет длина отрезка, соединяющего эти точки.

Пусть D — середина ребра AB, а E — середина ребра SC. Пирамида SABC является правильной, это означает, что ее основание ABC — равносторонний треугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Обозначим длину ребра основания за $a$ ($AB=BC=CA=a$), а длину бокового ребра за $b$ ($SA=SB=SC=b$).

Точка D находится на ребре AB, которое является общим для граней ABC и SAB. Точка E находится на ребре SC, которое является общим для граней SAC и SBC. Следовательно, кратчайший путь может проходить по двум смежным граням. Рассмотрим основные возможные маршруты.

Чтобы найти длину этого пути, сделаем развертку пирамиды, расположив грани SAB и SBC в одной плоскости. Общим ребром для этих граней является SB. В результате развертки получим плоскую фигуру ASBC, состоящую из двух равных равнобедренных треугольников SAB и SBC.

Кратчайший путь между точками D и E на этой развертке — это длина отрезка DE. Найдем ее.

В равнобедренном треугольнике SBC ($SB=SC=b$, $BC=a$) найдем угол при вершине $\angle BSC$. Обозначим его $\alpha$. По теореме косинусов:$a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 \cos \alpha \implies \cos \alpha = \frac{2b^2 - a^2}{2b^2}$.Поскольку все боковые грани равны, то $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = \alpha$.

Для нахождения длины DE воспользуемся геометрическим построением на развертке. Пусть F — середина отрезка BC. Тогда EF — средняя линия треугольника SBC, следовательно, $EF = \frac{1}{2}SB = \frac{b}{2}$ и $EF \parallel SB$.

Аналогично, DF — отрезок, соединяющий середины сторон AB и BC в четырехугольнике ASBC. Однако удобнее рассмотреть треугольник ABC на развертке (хотя A, B, C не образуют исходное основание). На развертке A, S, C образуют треугольник ASC. DF не является средней линией.

Воспользуемся более надежным методом — методом координат. Поместим вершину S в начало координат (0,0), а ребро SB расположим вдоль оси Ox.

• Координаты вершины S: (0, 0).
• Координаты вершины B: ($b$, 0).
• Вершина A получается поворотом точки B вокруг S на угол $-\alpha$. Ее координаты: ($b\cos(-\alpha), b\sin(-\alpha)$) = ($b\cos\alpha, -b\sin\alpha$).
• Вершина C получается поворотом точки B вокруг S на угол $\alpha$. Ее координаты: ($b\cos\alpha, b\sin\alpha$).

Теперь найдем координаты точек D и E.

• D — середина AB: $D = \left(\frac{b\cos\alpha + b}{2}, \frac{-b\sin\alpha + 0}{2}\right) = \left(\frac{b(1+\cos\alpha)}{2}, -\frac{b\sin\alpha}{2}\right)$.
• E — середина SC: $E = \left(\frac{b\cos\alpha + 0}{2}, \frac{b\sin\alpha + 0}{2}\right) = \left(\frac{b\cos\alpha}{2}, \frac{b\sin\alpha}{2}\right)$.

Найдем квадрат расстояния DE:$d_1^2 = DE^2 = \left(\frac{b\cos\alpha}{2} - \frac{b(1+\cos\alpha)}{2}\right)^2 + \left(\frac{b\sin\alpha}{2} - \left(-\frac{b\sin\alpha}{2}\right)\right)^2$$d_1^2 = \left(\frac{b\cos\alpha - b - b\cos\alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{2b\sin\alpha}{2}\right)^2$$d_1^2 = \left(-\frac{b}{2}\right)^2 + (b\sin\alpha)^2 = \frac{b^2}{4} + b^2\sin^2\alpha$.

Ответ: Длина пути по боковым граням SAB и SBC равна $d_1 = \sqrt{\frac{b^2}{4} + b^2\sin^2\alpha}$, где $\alpha = \arccos\left(\frac{2b^2 - a^2}{2b^2}\right)$.

Сделаем развертку, расположив в одной плоскости грань основания ABC и боковую грань SBC. Общим ребром является BC. В результате получим плоскую фигуру ABSC.

Кратчайший путь — это длина отрезка DE. Найдем ее, используя метод координат. Расположим основание BC на оси Ox.

• Координаты вершины B: (0, 0).
• Координаты вершины C: ($a$, 0).
• Поскольку ABC — равносторонний треугольник, координаты вершины A: $\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.
• Грань SBC — равнобедренный треугольник. Вершина S будет иметь абсциссу $a/2$. Ордината S будет равна высоте треугольника SBC, опущенной на сторону BC, взятой со знаком минус. Высота $h_{SBC} = \sqrt{SC^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{b^2 - (a/2)^2}$. Координаты вершины S: $\left(\frac{a}{2}, -\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}\right)$.

Найдем координаты точек D и E.

• D — середина AB: $D = \left(\frac{0 + a/2}{2}, \frac{0 + a\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$.
• E — середина SC: $E = \left(\frac{a/2 + a}{2}, \frac{-\sqrt{b^2-a^2/4} + 0}{2}\right) = \left(\frac{3a}{4}, -\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2}\right)$.

Найдем квадрат расстояния DE:$d_2^2 = DE^2 = \left(\frac{3a}{4} - \frac{a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$$d_2^2 = \left(\frac{2a}{4}\right)^2 + \left(-1 \cdot \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)\right)^2$$d_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$.

По симметрии, путь через грани ABC и SAC будет иметь такую же длину.

Ответ: Длина пути по грани основания ABC и боковой грани SBC равна $d_2 = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2}$.

Кратчайшим путем будет наименьшая из найденных длин. Таким образом, искомая длина $L$ равна:$L = \min(d_1, d_2)$.

В общем случае, без знания соотношения между $a$ и $b$, невозможно определить, какой из путей короче.

Рассмотрим частный случай, когда пирамида является правильным тетраэдром, то есть $a=b$. В этом случае все грани — равносторонние треугольники, и угол $\alpha=60^\circ$.

Длина первого пути:$d_1^2 = \frac{a^2}{4} + a^2\sin^2(60^\circ) = \frac{a^2}{4} + a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2 \implies d_1 = a$.

Длина второго пути:$d_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{a^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{3a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{a\sqrt{3}/2}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{2a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2 \implies d_2 = a$.

В случае правильного тетраэдра оба пути имеют одинаковую длину, равную длине ребра тетраэдра. Если в условии задачи подразумевался именно этот случай (что вероятно, учитывая отсутствие данных о размерах), то ответ — $a$. В общем виде ответ зависит от $a$ и $b$.

Ответ: Длина кратчайшего пути равна $\min\left(\sqrt{\frac{b^2}{4} + b^2\sin^2\alpha}, \sqrt{\frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2}\right)$, где $a$ — сторона основания, $b$ — боковое ребро, а $\alpha = \arccos\left(\frac{2b^2 - a^2}{2b^2}\right)$.