Номер 2.22, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.22 Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит четыре ребра, то учетверенное число вершин равно удвоенному числу ребер. Сколько ребер у такого многогранника, если число вершин равно 6? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит четыре ребра, то учетверенное число вершин равно удвоенному числу ребер.

Пусть $В$ — число вершин многогранника, а $Р$ — число его ребер. По условию, из каждой вершины выходит ровно четыре ребра. Сумма степеней всех вершин многогранника (то есть общее число ребер, сходящихся в вершинах) равна произведению числа вершин на степень каждой вершины: $4 \times В$.

С другой стороны, согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней вершин любого графа (в данном случае — графа ребер многогранника) равна удвоенному числу его ребер: $2 \times Р$.

Приравнивая два этих выражения для одной и той же величины, получаем:

$4В = 2Р$

Это и доказывает требуемое утверждение.

Ответ: Соотношение $4В = 2Р$ доказано.

Сколько ребер у такого многогранника, если число вершин равно 6?

Дано:

Число вершин $В = 6$

Из каждой вершины выходит 4 ребра

Найти:

Число ребер $Р$

Решение:

Используем доказанную в первой части задачи формулу:

$4В = 2Р$

Подставим в нее известное значение числа вершин $В = 6$:

$4 \times 6 = 2Р$

$24 = 2Р$

Отсюда находим число ребер $Р$:

$Р = \frac{24}{2} = 12$

Ответ: У такого многогранника 12 ребер.

Приведите пример такого многогранника.

Примером многогранника, который имеет 6 вершин и у которого из каждой вершины выходит по 4 ребра, является октаэдр.

У октаэдра:

• Число вершин $В = 6$

• Число ребер $Р = 12$

В каждой вершине октаэдра сходятся ровно 4 ребра. Проверим выполнение нашего соотношения: $4 \times 6 = 2 \times 12$, или $24 = 24$. Условие выполняется.

Ответ: Примером такого многогранника является октаэдр.